Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+15=0$. Gọi ${{M}_{1}}\left( a;b;c \right),{{M}_{2}}\left( d;e;f \right)$ là hai điểm thuộc $\left( S \right)$ sao cho $d\left( {{M}_{1}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất và $d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $T=a+3b+c+d-3e+f$ là
A. $20$.
B. $10$.
C. $-6$.
D. $\dfrac{17}{3}$.
A. $20$.
B. $10$.
C. $-6$.
D. $\dfrac{17}{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ có tọa độ tâm $I\left( 0;1;0 \right)$ và bán kính $R=5$.
Mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+15=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Vì ${{d}_{\left( I,\left( P \right) \right)}}=\dfrac{17}{3}>\mathbb{R}=5$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ không có điểm chung.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I\left( 0;1;0 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $\left( S \right)$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( 1+2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -t \right)}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& t=\pm \dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& N\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{5}{3} \right) \\
& Q\left( \dfrac{-10}{3};\dfrac{-7}{3};\dfrac{5}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ là hai điểm thuộc $\left( S \right)$ sao cho $d\left( {{M}_{1}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất và $d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow {{M}_{1}},{{M}_{2}}$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $\left( S \right)$.
Vì $d\left( N,\left( P \right) \right)=\dfrac{86}{9}>d\left( Q,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{M}_{1}}\equiv N;{{M}_{2}}\equiv Q$.
Suy ra ${{M}_{1}}\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$ và ${{M}_{2}}\left( -\dfrac{10}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3} \right)$. Vậy $T=a+3b+c+d-3e+f=20$.
Mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+15=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;2;-1 \right)$.
Vì ${{d}_{\left( I,\left( P \right) \right)}}=\dfrac{17}{3}>\mathbb{R}=5$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ không có điểm chung.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $I\left( 0;1;0 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $\left( S \right)$ là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& {{\left( 2t \right)}^{2}}+{{\left( 1+2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -t \right)}^{2}}=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1+2t \\
& z=-t \\
& t=\pm \dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& N\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{5}{3} \right) \\
& Q\left( \dfrac{-10}{3};\dfrac{-7}{3};\dfrac{5}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ là hai điểm thuộc $\left( S \right)$ sao cho $d\left( {{M}_{1}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị lớn nhất và $d\left( {{M}_{2}},\left( P \right) \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow {{M}_{1}},{{M}_{2}}$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $\left( S \right)$.
Vì $d\left( N,\left( P \right) \right)=\dfrac{86}{9}>d\left( Q,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{M}_{1}}\equiv N;{{M}_{2}}\equiv Q$.
Suy ra ${{M}_{1}}\left( \dfrac{10}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$ và ${{M}_{2}}\left( -\dfrac{10}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3} \right)$. Vậy $T=a+3b+c+d-3e+f=20$.
Đáp án A.