Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y-1)}^2+z^2=25$ có tọa độ tâm $I(0;1;0)$ và bán kính $R=5$.
Mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z+15=0$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;2;-1)$.
Vì $d_{(I,\left(P\right))}={\displaystyle \frac{17}{3}}>\mathbb{R}=5$ nên mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ không có điểm chung.
Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng qua $I(0;1;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right)$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=1+2t\\ & z=-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $\left(S\right)$ là nghiệm hệ phương trình:
$\{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=1+2t\\ & z=-t\\ & x^2+{(y-1)}^2+z^2=25\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=1+2t\\ & z=-t\\ & {\left(2t\right)}^2+{(1+2t-1)}^2+{(-t)}^2=25\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x=2t\\ & y=1+2t\\ & z=-t\\ & t=\pm {\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$\Rightarrow [\begin{array}{rl}& N({\displaystyle \frac{10}{3}};{\displaystyle \frac{13}{3}};-{\displaystyle \frac{5}{3}})\\ & Q({\displaystyle \frac{-10}{3}};{\displaystyle \frac{-7}{3}};{\displaystyle \frac{5}{3}})\end{array}$.
$M_1,M_2$ là hai điểm thuộc $\left(S\right)$ sao cho $d(M_1,\left(P\right))$ đạt giá trị lớn nhất và $d(M_2,\left(P\right))$ đạt giá trị nhỏ nhất $\iff M_1,M_2$ là giao điểm của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt cầu $\left(S\right)$.
Vì $d(N,\left(P\right))={\displaystyle \frac{86}{9}}>d(Q,\left(P\right))={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow M_1\equiv N;M_2\equiv Q$.
Suy ra $M_1({\displaystyle \frac{10}{3}};{\displaystyle \frac{13}{3}};-{\displaystyle \frac{5}{3}})$ và $M_2(-{\displaystyle \frac{10}{3}};-{\displaystyle \frac{7}{3}};{\displaystyle \frac{5}{3}})$. Vậy $T=a+3b+c+d-3e+f=20$.