Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm và bán kính lần lượt là $I(3;-2;3),R=9$. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có một chỉ phương $\overrightarrow{u}=(5;2;-4)$ và đi qua điểm $M(1;5;4)$, khi đó $\overrightarrow{IM}=(-2;7;1)$ suy ra khoảng cách $d_1=d(I,\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{\left|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{\mathrm{I}M}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}}=3\sqrt{6}$ do đó $\mathrm{\Delta }$ cắt $\left(S\right)$ tại hai điểm $A,B$, gọi $J$ là trung điểm $AB$.
Ta có ${\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}+d_1^2=R^2\iff AB=6\sqrt{3}$, lúc đó mọi mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đều cắt $\left(S\right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left(C\right)$ có bán kính $r$, gọi $d_2=d(I,\left(P\right))$ ta có $d_2^2+r^2=R^2\iff r^2=R^2-d_2^2$ và ta luôn có $0\le d_2\le d_1$.
Ta xét một hình nón có đường tròn đáy là $\left(C\right)$ và có đỉnh là $N$ thuộc mặt cầu khi đó ta có $N{O}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(P\right)$ với $O^{\prime }$ là tâm của đường tròn $\left(C\right)$, đồng thời $N{O}^{\prime }$ là đường cao của hình nón.
Ta có $N{O}^{\prime }=R+d_2$, thể tích khối nón tương ứng là $V_N={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .r^2.N{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .(R^2-d_2^2)(R+d_2)$.
đặt $f\left(d_2\right)=(R^2-d_2^2)(R+d_2)$ hay $f\left(d_2\right)=-d_2^3-R.d_2^2+R^2.d_2+R^3,(0\le d_2\le d_1)$.
Ta có $f^{\prime }\left(d_2\right)=-3d_2^2-2R.d_2+R^2$ do đó $f^{\prime }\left(d_2\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& d_2=-R\\ & d_2={\displaystyle \frac{R}{3}}\end{array}$ $\Rightarrow d_2={\displaystyle \frac{R}{3}}$ (do ${\displaystyle \frac{R}{3}}<d_1$).
Bảng biến thiên của hàm số $f\left(d_2\right)$ như sau:
Từ đây ta có $V_{\text{max}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .f\left({\displaystyle \frac{R}{3}}\right)={\displaystyle \frac{32\pi R^3}{81}}\iff d_2={\displaystyle \frac{R}{3}}=3$.
Ta lại có phương trình của $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x-1}{5}}={\displaystyle \frac{y-5}{2}}={\displaystyle \frac{z-4}{-4}}$ nên mọi mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa $\mathrm{\Delta }$ đều có phương trình dạng $2mx+(2n-5m)y+nz+23m-14n=0$ trong đó $m,n\in \mathbb{R},m^2+n^2>0$.
Ta có $d_2=3\iff {\displaystyle \frac{|6m-2(2n-5m)+3n+23m-14n|}{\sqrt{4m^2+n^2+{(2n-5m)}^2}}}=3\iff {\displaystyle \frac{|13m-5n|}{\sqrt{29m^2-20mn+5n^2}}}=1$
$\iff 169m^2-130mn+25n^2=29m^2-20mn+5n^2$ $\iff 140m^2-110mn+20n^2=0\iff [\begin{array}{rl}& m={\displaystyle \frac{1}{2}}n\\ & m={\displaystyle \frac{2}{7}}n\end{array}$.
Trường hợp 1: Chọn $\{\begin{array}{rl}& m=1\\ & n=2\end{array}$ ta có $(P_1):2x-y+2z-5=0\iff {\displaystyle \frac{2}{5}}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}y+{\displaystyle \frac{2}{5}}z-1=0$. (loại)
Trường hợp 2: Chọn $\{\begin{array}{rl}& m=2\\ & n=7\end{array}$ ta có $(P_2):4x+4y+7z-52=0\iff {\displaystyle \frac{4}{52}}x+{\displaystyle \frac{4}{52}}y+{\displaystyle \frac{7}{52}}z-1=0$.
Theo giá thiết $a,b,c\in (0;+\mathrm{\infty })$ nên phương trình của $(P):{\displaystyle \frac{4}{52}}x+{\displaystyle \frac{4}{52}}y+{\displaystyle \frac{7}{52}}z-1=0$.