Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm và bán kính lần lượt là $I\left( 3;-2;3 \right),R=9$. Đường thẳng $\Delta $ có một chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 5;2;-4 \right)$ và đi qua điểm $M\left( 1;5;4 \right)$, khi đó $\overrightarrow{IM}=\left( -2;7;1 \right)$ suy ra khoảng cách ${{d}_{1}}=d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{\operatorname{I}M} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=3\sqrt{6}$ do đó $\Delta $ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,B$, gọi $J$ là trung điểm $AB$.
Ta có $\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+d_{1}^{2}={{R}^{2}}\Leftrightarrow AB=6\sqrt{3}$, lúc đó mọi mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $\Delta $ đều cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r$, gọi ${{d}_{2}}=d\left( I,\left( P \right) \right)$ ta có $d_{2}^{2}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-d_{2}^{2}$ và ta luôn có $0\le {{d}_{2}}\le {{d}_{1}}$.
Ta xét một hình nón có đường tròn đáy là $\left( C \right)$ và có đỉnh là $N$ thuộc mặt cầu khi đó ta có $N{O}'\bot \left( P \right)$ với ${O}'$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$, đồng thời $N{O}'$ là đường cao của hình nón.
Ta có $N{O}'=R+{{d}_{2}}$, thể tích khối nón tương ứng là ${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.N{O}'=\dfrac{1}{3}\pi .\left( {{R}^{2}}-d_{2}^{2} \right)\left( R+{{d}_{2}} \right)$.
đặt $f\left( {{d}_{2}} \right)=\left( {{R}^{2}}-d_{2}^{2} \right)\left( R+{{d}_{2}} \right)$ hay $f\left( {{d}_{2}} \right)=-d_{2}^{3}-R.d_{2}^{2}+{{R}^{2}}.{{d}_{2}}+{{R}^{3}},\left( 0\le {{d}_{2}}\le {{d}_{1}} \right)$.
Ta có ${f}'\left( {{d}_{2}} \right)=-3d_{2}^{2}-2R.{{d}_{2}}+{{R}^{2}}$ do đó ${f}'\left( {{d}_{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{d}_{2}}=-R \\
& {{d}_{2}}=\dfrac{R}{3} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {{d}_{2}}=\dfrac{R}{3} $ (do $ \dfrac{R}{3}<{{d}_{1}}$).
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( {{d}_{2}} \right)$ như sau:
Từ đây ta có ${{V}_{\text{max}}}=\dfrac{1}{3}\pi .f\left( \dfrac{R}{3} \right)=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}\Leftrightarrow {{d}_{2}}=\dfrac{R}{3}=3$.
Ta lại có phương trình của $\Delta :\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z-4}{-4}$ nên mọi mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ đều có phương trình dạng $2mx+\left( 2n-5m \right)y+nz+23m-14n=0$ trong đó $m,n\in \mathbb{R},{{m}^{2}}+{{n}^{2}}>0$.
Ta có ${{d}_{2}}=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6m-2\left( 2n-5m \right)+3n+23m-14n \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{\left( 2n-5m \right)}^{2}}}}=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 13m-5n \right|}{\sqrt{29{{m}^{2}}-20mn+5{{n}^{2}}}}=1$
$\Leftrightarrow 169{{m}^{2}}-130mn+25{{n}^{2}}=29{{m}^{2}}-20mn+5{{n}^{2}}$ $\Leftrightarrow 140{{m}^{2}}-110mn+20{{n}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2}n \\
& m=\dfrac{2}{7}n \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: Chọn $\left\{ \begin{aligned}
& m=1 \\
& n=2 \\
\end{aligned} \right. $ ta có $ ({{P}_{1}}):2x-y+2z-5=0\Leftrightarrow \dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}y+\dfrac{2}{5}z-1=0$. (loại)
Trường hợp 2: Chọn $\left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& n=7 \\
\end{aligned} \right. $ ta có $ ({{P}_{2}}):4x+4y+7z-52=0\Leftrightarrow \dfrac{4}{52}x+\dfrac{4}{52}y+\dfrac{7}{52}z-1=0$.
Theo giá thiết $a,b,c\in \left( 0;+\infty \right)$ nên phương trình của $(P):\dfrac{4}{52}x+\dfrac{4}{52}y+\dfrac{7}{52}z-1=0$.