Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z+6=0$. Từ điểm $M$ kẻ ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$, trong đó $A,B,C$ là các tiếp điểm. Khi $M$ di động trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, khi đó ta có tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có đường cao $AE$, ta có $\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=1+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$
Để $AE$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $1+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $AM$ ngắn nhất
Ta có được $AM=\sqrt{S{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{S{{M}^{2}}-1}\ge \sqrt{d{{\left( S,\left( P \right) \right)}^{2}}-1}=\sqrt{3}\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Để $AE$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $1+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $AM$ ngắn nhất
Ta có được $AM=\sqrt{S{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{S{{M}^{2}}-1}\ge \sqrt{d{{\left( S,\left( P \right) \right)}^{2}}-1}=\sqrt{3}\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.