Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=3$. Xét điểm $M$ di động trên trục $Ox$, từ $M$ kẻ được 3 tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến $\left( S \right)$ với $A, B, C$ là các tiếp điểm. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính nhỏ nhất bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $1$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $1$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{3}{4}$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0 ; 0 ; 2), R=\sqrt{3}$. Gọi $M(m ; 0 ; 0) \in O x$ và tiếp điểm $A(x ; y ; z)$ ta có hệ điều kiện:
$
\left\{\begin{array} { c }
{ A \in ( S ) } \\
{ M A ^ { 2 } = M I ^ { 2 } - I A ^ { 2 } = M I ^ { 2 } - R ^ { 2 } = ( m ^ { 2 } + 4 ) - 3 = m ^ { 2 } + 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=3 \\
(x-m)^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}+1
\end{array}\right.\right.
$
Trừ theo vế hai phương trình của hệ có $2 m x-m^{2}-4 z+4=2-m^{2} \Leftrightarrow m x-2 z+1=0 \Rightarrow(A B C): m x-2 z+1=0$.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ là đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(A B C)$ có bán kính xác định bởi
$
R_{(C)}=\sqrt{R^{2}-d^{2}(I,(A B C))}=\sqrt{3-\dfrac{9}{m^{2}+4}} \geq \sqrt{3-\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} .
$
$
\left\{\begin{array} { c }
{ A \in ( S ) } \\
{ M A ^ { 2 } = M I ^ { 2 } - I A ^ { 2 } = M I ^ { 2 } - R ^ { 2 } = ( m ^ { 2 } + 4 ) - 3 = m ^ { 2 } + 1 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=3 \\
(x-m)^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}+1
\end{array}\right.\right.
$
Trừ theo vế hai phương trình của hệ có $2 m x-m^{2}-4 z+4=2-m^{2} \Leftrightarrow m x-2 z+1=0 \Rightarrow(A B C): m x-2 z+1=0$.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ là đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(A B C)$ có bán kính xác định bởi
$
R_{(C)}=\sqrt{R^{2}-d^{2}(I,(A B C))}=\sqrt{3-\dfrac{9}{m^{2}+4}} \geq \sqrt{3-\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} .
$
Đáp án A.