Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6y-4z-2=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+4y+z-11=0$. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;6;2 \right)$, vuông góc với $\left( \alpha \right)$ và tiếp xúc với (S).
A. $\left[ \begin{aligned}
& 2x-y+2z-3=0 \\
& 2x-y+2z-31=0 \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left[ \begin{aligned}
& 4x-3y-z+1=0 \\
& 4x-3y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
C. $\left[ \begin{aligned}
& 4x-3y-z+5=0 \\
& 4x-3y-z-27=0 \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left[ \begin{aligned}
A. $\left[ \begin{aligned}
& 2x-y+2z-3=0 \\
& 2x-y+2z-31=0 \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left[ \begin{aligned}
& 4x-3y-z+1=0 \\
& 4x-3y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
C. $\left[ \begin{aligned}
& 4x-3y-z+5=0 \\
& 4x-3y-z-27=0 \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left[ \begin{aligned}
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -3; 2) và bán kính $R=4$.
Vì mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;6;2 \right)$, vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{v} \right]=\left( 2;-1;2 \right).$.
Mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+d=0.$
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
$d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.1+3+2.2+d \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \left| D+9 \right|=12\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=-21 \\
& D=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $\left[ \begin{aligned}
& 2x-y+2z+3=0 \\
& 2x-y+2z-21=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 1;6;2 \right)$, vuông góc với $\left( \alpha \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{v} \right]=\left( 2;-1;2 \right).$.
Mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+d=0.$
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
$d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2.1+3+2.2+d \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \left| D+9 \right|=12\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=-21 \\
& D=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $\left[ \begin{aligned}
& 2x-y+2z+3=0 \\
& 2x-y+2z-21=0 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.