Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu (S) có tâm I(0, 0, -1) bán kính . Ta có mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy). Để có tiếp tuyến của (S) đi qua A .
Có
Vì theo đề .
* Xét trường hợp , ta có . Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của (a; b) là .
* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi đó, các tiếp tuyến của (S) đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng . Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là , ta có M, A, N, I đồng phẳng nên: .
Suy ra

Điều kiện phải tìm là
Vì a, b là các số nguyên nên
hoặc hoặc hoặc hoặc .
Hai hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là . Tóm lại có 20 bộ số nguyên cần tìm.