Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$. Có tấtcả bao nhiêu điểm A(a, b, c) ( a,b,c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12.
B. 16.
C. 20.
D. 8.
Mặt cầu (S) có tâm I(0, 0, -1) bán kính $R=\sqrt{5}$. Ta có ${{d}_{\left( I\left( Oxy \right) \right)}}=1<R\Rightarrow $ mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy). Để có tiếp tuyến của (S) đi qua A $\Leftrightarrow AI\ge R\left( 1 \right)$.
Có $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right),IA={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1.$
Vì theo đề $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right)$.
* Xét trường hợp $A\in \left( S \right)$, ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$. Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của (a; b) là $\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$.
* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi đó, các tiếp tuyến của (S) đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ $. Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là $\widehat{MAN}$, ta có M, A, N, I đồng phẳng nên: $\widehat{MAN}\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{MAI}\ge 45{}^\circ $.
Suy ra $\widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{5}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{10}.$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9 \\
\end{aligned} \right.$
Vì a, b là các số nguyên nên
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=0 \\
& {{b}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=9 \\
& {{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Hai hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là $2.2+3.4=16$. Tóm lại có 20 bộ số nguyên cần tìm.
A. 12.
B. 16.
C. 20.
D. 8.
Mặt cầu (S) có tâm I(0, 0, -1) bán kính $R=\sqrt{5}$. Ta có ${{d}_{\left( I\left( Oxy \right) \right)}}=1<R\Rightarrow $ mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy). Để có tiếp tuyến của (S) đi qua A $\Leftrightarrow AI\ge R\left( 1 \right)$.
Có $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right),IA={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1.$
Vì theo đề $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right)$.
* Xét trường hợp $A\in \left( S \right)$, ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$. Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của (a; b) là $\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$.
* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi đó, các tiếp tuyến của (S) đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ $. Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là $\widehat{MAN}$, ta có M, A, N, I đồng phẳng nên: $\widehat{MAN}\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{MAI}\ge 45{}^\circ $.
Suy ra $\widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{5}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{10}.$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9 \\
\end{aligned} \right.$
Vì a, b là các số nguyên nên
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=0 \\
& {{b}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=9 \\
& {{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Hai hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là $2.2+3.4=16$. Tóm lại có 20 bộ số nguyên cần tìm.
Đáp án C.