Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0$ (m là tham số) và đường thẳng$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $. Biết đường thẳng $ \Delta $cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho$ AB=8$. Giá trị của m là
A. $m=-10.$
B. $m=5.$
C. $m=12.$
D. $m=-12.$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( -2;3;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}-m}=\sqrt{13-m}.$
Đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 4;3;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;1;2 \right).$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 6;0;3 \right)$. Khi đó $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=1.$
Áp dụng định lý Pitago ta có $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\Delta \right)}=5\Rightarrow \sqrt{13-m}=5\Rightarrow m=-12.$
& x=4+2t \\
& y=3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $. Biết đường thẳng $ \Delta $cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho$ AB=8$. Giá trị của m là
A. $m=-10.$
B. $m=5.$
C. $m=12.$
D. $m=-12.$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( -2;3;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}-m}=\sqrt{13-m}.$
Đường thẳng $\Delta $ qua $M\left( 4;3;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;1;2 \right).$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 6;0;3 \right)$. Khi đó $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=1.$
Áp dụng định lý Pitago ta có $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\Delta \right)}=5\Rightarrow \sqrt{13-m}=5\Rightarrow m=-12.$
Đáp án D.