Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+2m=0$ ( $m$ là tham số) và đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=4+2t \\
& y=3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $. Biết đường thẳng $ \Delta $ cắt mặt cầu $ \left( S \right) $ tại hai điểm phân biệt $ A,B $ sao cho $ AB=8 $. Giá trị của $ m$ là
A. $m=6$.
B. $m=12$.
C. $m=-12$.
D. $m=-6$.
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+2m=0\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=13-2m$.
Để $\left( S \right)$ là mặt cầu thì $13-2m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{13}{2}$.
Khi đó mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2; 3; 0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{13-2m}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta \Rightarrow H\left( 4+2t; 3+t; 3+2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( 2t+6; t; 2t+3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t+6 \right)+t+2\left( 2t+3 \right)=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left( 2;-2; -1 \right)\Rightarrow IH=3$.
Xét $\Delta IHB$ vuông tại $H$ có $I{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+16=13-2m\Leftrightarrow m=-6$.
& x=4+2t \\
& y=3+t \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $. Biết đường thẳng $ \Delta $ cắt mặt cầu $ \left( S \right) $ tại hai điểm phân biệt $ A,B $ sao cho $ AB=8 $. Giá trị của $ m$ là
A. $m=6$.
B. $m=12$.
C. $m=-12$.
D. $m=-6$.
Để $\left( S \right)$ là mặt cầu thì $13-2m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{13}{2}$.
Khi đó mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2; 3; 0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{13-2m}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta \Rightarrow H\left( 4+2t; 3+t; 3+2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\left( 2t+6; t; 2t+3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t+6 \right)+t+2\left( 2t+3 \right)=0\Leftrightarrow t=-2$.
Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left( 2;-2; -1 \right)\Rightarrow IH=3$.
Xét $\Delta IHB$ vuông tại $H$ có $I{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 9+16=13-2m\Leftrightarrow m=-6$.
Đáp án D.