Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $.Từ điểm $ M\in d $ kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt $ MA, MB $đến $ \left( S \right) $ với $ A, B $là tiếp điểm sao cho tam giác $ MAB $ đều. Biết điểm $ M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right), {{y}_{0}}>0 $ và $ 8{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=a-\sqrt{b} $. Tính $ 3a-b$.
A. $0$.
B. $-2$.
C. $5$.
D. $1$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0 ; 0 ; 1 \right)$ bán kính $R=2$ ; $IH=d\left( I, d \right)=3$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( MAB \right)\Rightarrow MH //= IJ , J$ là tâm đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( MAB \right)$. Điểm $K$ là trung điểm của $AB$.
Đặt $MA=2x\Rightarrow KB=x\Rightarrow K{{I}^{2}}=I{{B}^{2}}-K{{B}^{2}}=4-{{x}^{2}}$.
$MJ=IH=3, MK=x\sqrt{3}\Rightarrow KJ=3-x\sqrt{3}\Rightarrow I{{J}^{2}}=I{{K}^{2}}-K{{J}^{2}}=4-{{x}^{2}}-{{\left( 3-x\sqrt{3} \right)}^{2}}$.
$I{{J}^{2}}=I{{K}^{2}}-K{{J}^{2}}=6x\sqrt{3}-5-4{{x}^{2}}\Rightarrow M{{I}^{2}}=M{{J}^{2}}+I{{J}^{2}}=4+6x\sqrt{3}-4{{x}^{2}}$.
Ta lại có $MB\bot IB\Rightarrow M{{I}^{2}}=M{{B}^{2}}+{{R}^{2}}=4{{x}^{2}}+4=4+6x\sqrt{3}-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Rightarrow M{{I}^{2}}=\dfrac{43}{4}$.
$M\left( 2+t ; 1-2t ; 3 \right)\in d\Rightarrow M{{I}^{2}}={{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{\left( 1-2t \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=\dfrac{43}{4}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{\sqrt{35}}{10}$.
Do ${{y}_{0}}>0$ nên $t=-\dfrac{\sqrt{35}}{10}\Rightarrow 8{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=12+10t=12-\sqrt{35}\Rightarrow 3a-b=1$.
& x=2+t \\
& y=1-2t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $.Từ điểm $ M\in d $ kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt $ MA, MB $đến $ \left( S \right) $ với $ A, B $là tiếp điểm sao cho tam giác $ MAB $ đều. Biết điểm $ M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}}; {{z}_{0}} \right), {{y}_{0}}>0 $ và $ 8{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=a-\sqrt{b} $. Tính $ 3a-b$.
A. $0$.
B. $-2$.
C. $5$.
D. $1$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( MAB \right)\Rightarrow MH //= IJ , J$ là tâm đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( MAB \right)$. Điểm $K$ là trung điểm của $AB$.
Đặt $MA=2x\Rightarrow KB=x\Rightarrow K{{I}^{2}}=I{{B}^{2}}-K{{B}^{2}}=4-{{x}^{2}}$.
$MJ=IH=3, MK=x\sqrt{3}\Rightarrow KJ=3-x\sqrt{3}\Rightarrow I{{J}^{2}}=I{{K}^{2}}-K{{J}^{2}}=4-{{x}^{2}}-{{\left( 3-x\sqrt{3} \right)}^{2}}$.
$I{{J}^{2}}=I{{K}^{2}}-K{{J}^{2}}=6x\sqrt{3}-5-4{{x}^{2}}\Rightarrow M{{I}^{2}}=M{{J}^{2}}+I{{J}^{2}}=4+6x\sqrt{3}-4{{x}^{2}}$.
Ta lại có $MB\bot IB\Rightarrow M{{I}^{2}}=M{{B}^{2}}+{{R}^{2}}=4{{x}^{2}}+4=4+6x\sqrt{3}-4{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Rightarrow M{{I}^{2}}=\dfrac{43}{4}$.
$M\left( 2+t ; 1-2t ; 3 \right)\in d\Rightarrow M{{I}^{2}}={{\left( 2+t \right)}^{2}}+{{\left( 1-2t \right)}^{2}}+{{2}^{2}}=\dfrac{43}{4}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{\sqrt{35}}{10}$.
Do ${{y}_{0}}>0$ nên $t=-\dfrac{\sqrt{35}}{10}\Rightarrow 8{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=12+10t=12-\sqrt{35}\Rightarrow 3a-b=1$.
Đáp án D.