Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+8=0$. Phương trình mặt phẳng chứa trục $Oy$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ là
A. $5x-\left( 2+3\sqrt{6} \right)y=0$, $5x-\left( 2-3\sqrt{6} \right)y=0$.
B. $\left( 3-2\sqrt{6} \right)x+5z=0$, $\left( 3+2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
C. $5x-\left( 2-3\sqrt{6} \right)y=0$, $5x+\left( 2+3\sqrt{6} \right)y=0$.
D. $\left( 2+3\sqrt{6} \right)x-5z=0$, $\left( 2-3\sqrt{6} \right)x-5z=0$.
A. $5x-\left( 2+3\sqrt{6} \right)y=0$, $5x-\left( 2-3\sqrt{6} \right)y=0$.
B. $\left( 3-2\sqrt{6} \right)x+5z=0$, $\left( 3+2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
C. $5x-\left( 2-3\sqrt{6} \right)y=0$, $5x+\left( 2+3\sqrt{6} \right)y=0$.
D. $\left( 2+3\sqrt{6} \right)x-5z=0$, $\left( 2-3\sqrt{6} \right)x-5z=0$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ với $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
Trục $Oy$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$, suy ra $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}=0\Rightarrow b=0$.
Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Oy$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;0;c \right)$ có phương trình là $\left( P \right):ax+cz=0$.
Mà $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| a+3c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| a+3c \right|=\sqrt{6{{a}^{2}}+6{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( a+3c \right)}^{2}}=6{{a}^{2}}+6{{c}^{2}}\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-6ac-3{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3\pm 2\sqrt{6}}{5}c$.
Với $a=\dfrac{3+2\sqrt{6}}{5}c$ chọn $c=5\Rightarrow a=3+2\sqrt{6}$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( 3+2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
Với $a=\dfrac{3-2\sqrt{6}}{5}c$ chọn $c=5\Rightarrow a=3-2\sqrt{6}$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( 3-2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)$ với $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$.
Trục $Oy$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$, suy ra $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}=0\Rightarrow b=0$.
Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Oy$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a;0;c \right)$ có phương trình là $\left( P \right):ax+cz=0$.
Mà $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| a+3c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| a+3c \right|=\sqrt{6{{a}^{2}}+6{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( a+3c \right)}^{2}}=6{{a}^{2}}+6{{c}^{2}}\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-6ac-3{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3\pm 2\sqrt{6}}{5}c$.
Với $a=\dfrac{3+2\sqrt{6}}{5}c$ chọn $c=5\Rightarrow a=3+2\sqrt{6}$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( 3+2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
Với $a=\dfrac{3-2\sqrt{6}}{5}c$ chọn $c=5\Rightarrow a=3-2\sqrt{6}$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\left( 3-2\sqrt{6} \right)x+5z=0$.
Đáp án B.