Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16$ và điểm $A\left( m;~m;~2 \right)$ nằm ngoài mặt cầu. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $\left( S \right)$, gọi $\left( {{P}_{m}} \right)$ là mặt phẳng chứa các tiếp điểm, biết $\left( {{P}_{m}} \right)$ luôn đi qua một đường thẳng $d$ cố định, phương trình đường thẳng $d$ là
A. $\left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=-1 \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=2t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$.
C. $\left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right. $.
D. $(d):\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t \\ z=-2\end{array}\right.$
A. $\left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=-1 \\
\end{array} \right. $.
B. $ \left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=2t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$.
C. $\left( d \right):~\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right. $.
D. $(d):\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t \\ z=-2\end{array}\right.$
Cách 1:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;~0;~-2 \right)$, bán kính $R=4$. Mặt cầu đường kính $AI$ có tâm là trung điểm $H\left( \dfrac{m}{2};~\dfrac{m}{2};~0 \right)$ của $AI$ và bán kính $R'=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+16}}{2}$ có phương trình là:
$\left( S' \right):$ ${{\left( x-\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{2{{m}^{2}}+16}{4}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-mx-my=4$.
Khi đó các tiếp điểm kẻ từ $A$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ nằm trên $\left( S' \right)$ do đó tọa độ các tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z-12=0 \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-mx-my-4=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow mx+my+4z-8=0$.
Do đó mặt phẳng $\left( {{P}_{m}} \right)$ có phương trình: $mx+my+4z-8=0$.
Đường thẳng cố định của $\left( {{P}_{m}} \right)$ có dạng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=0 \\
4z-8=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;~0;~-2 \right)$, bán kính $R=4$.
Mặt cầu tâm $A\left( m;~m;~2 \right)$ bán kính $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}}$ có phương trình:
$\left( S' \right):$ ${{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y-m \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2my-4z+4=0$.
$\left( {{P}_{m}} \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( S' \right)$ :
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z-12=0 \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2my-4z+4=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow mx+my+4z-8=0$.
Đường thẳng cố định của $\left( {{P}_{m}} \right)$ có dạng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=0 \\
4z-8=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;~0;~-2 \right)$, bán kính $R=4$. Mặt cầu đường kính $AI$ có tâm là trung điểm $H\left( \dfrac{m}{2};~\dfrac{m}{2};~0 \right)$ của $AI$ và bán kính $R'=\dfrac{AI}{2}=\dfrac{\sqrt{2{{m}^{2}}+16}}{2}$ có phương trình là:
$\left( S' \right):$ ${{\left( x-\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{2{{m}^{2}}+16}{4}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-mx-my=4$.
Khi đó các tiếp điểm kẻ từ $A$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ nằm trên $\left( S' \right)$ do đó tọa độ các tiếp điểm thỏa mãn hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z-12=0 \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-mx-my-4=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow mx+my+4z-8=0$.
Do đó mặt phẳng $\left( {{P}_{m}} \right)$ có phương trình: $mx+my+4z-8=0$.
Đường thẳng cố định của $\left( {{P}_{m}} \right)$ có dạng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=0 \\
4z-8=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$
Cách 2:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 0;~0;~-2 \right)$, bán kính $R=4$.
Mặt cầu tâm $A\left( m;~m;~2 \right)$ bán kính $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}}$ có phương trình:
$\left( S' \right):$ ${{\left( x-m \right)}^{2}}+{{\left( y-m \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2{{m}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2my-4z+4=0$.
$\left( {{P}_{m}} \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( S' \right)$ :
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4z-12=0 \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2my-4z+4=0 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow mx+my+4z-8=0$.
Đường thẳng cố định của $\left( {{P}_{m}} \right)$ có dạng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=0 \\
4z-8=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=t \\
y=-t \\
z=2 \\
\end{array} \right.$.
Đáp án C.