Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S...

Gọi tiếp điểm là M, N và H và là tâm đường tròn giao tuyến của $mp\left( AMN \right)$ và $\left( S \right)$
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có $AM=MH=r,AH=\sqrt{2}r$
Lại có $I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{I}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}=A{{I}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}$ mà $0\le r\le R\Rightarrow {{R}^{2}}\le I{{A}^{2}}\le 2{{R}^{2}}$
Với $A\left( a;b;0 \right)\Rightarrow I{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1$ và ${{R}^{2}}=5$ suy ra $5\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\le 10\Leftrightarrow 4\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9$
Kết hợp $a,b\in \mathbb{Z}\to \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 2 \\
& b=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 3 \\
\end{aligned} \right.; $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 3 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả 20 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.