Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - \sqrt{2})}^{2} = 3

. Có tất cả bao nhiêu điểm

A (a; b; c)

(a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12
B. 4
C. 8
D. 16

Gọi tiếp điểm là M, N và H là tâm đường tròn giao tuyến của mp (AMN) và (S)
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có

A M = M H = r; A H = \sqrt{2} r

Lại có

I M^{2} + A M^{2} = A I^{2} \Rightarrow R^{2} + r^{2} = A I^{2} \Leftrightarrow r^{2} = A I^{2} - R^{2}

mà

0 \leq r \leq R \Rightarrow R^{2} \leq I A^{2} \leq 2 R^{2}

Với

A (a; b; 0) \Rightarrow I A^{2} = a^{2} + b^{2} + 2

và

R^{2} = 3

suy ra

3 \leq a^{2} + b^{2} + 2 \leq 6 \Leftrightarrow 1 \leq a^{2} + b^{2} \leq 4

Kết hợp

a, b \in Z \overset{}{\to} {\begin{aligned} a = 0 \\ b = \pm 1 \end{aligned}; {\begin{aligned} a = \pm 1 \\ b = 0 \end{aligned}; {\begin{aligned} a = \pm 1 \\ b = \pm 1 \end{aligned}; {\begin{aligned} a = \pm 2 \\ b = 0 \end{aligned}; {\begin{aligned} a = 0 \\ b = \pm 2 \end{aligned}

Vậy có tất cả 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page