Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-\sqrt{2} \right)}^{2}}=3$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( a; b; c \right)$ (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12
B. 4
C. 8
D. 16
A. 12
B. 4
C. 8
D. 16
Gọi tiếp điểm là M, N và H là tâm đường tròn giao tuyến của mp (AMN) và (S)
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có $AM=MH=r; AH=\sqrt{2}r$
Lại có $I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{I}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}=A{{I}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}$ mà $0\le r\le R\Rightarrow {{R}^{2}} \le I{{A}^{2}}\le 2{{R}^{2}}$
Với $A\left( a; b; 0 \right)\Rightarrow I{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2$ và ${{R}^{2}}=3$ suy ra $3\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\le 6\Leftrightarrow 1\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4$
Kết hợp $a,b\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có $AM=MH=r; AH=\sqrt{2}r$
Lại có $I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{I}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}+{{r}^{2}}=A{{I}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}$ mà $0\le r\le R\Rightarrow {{R}^{2}} \le I{{A}^{2}}\le 2{{R}^{2}}$
Với $A\left( a; b; 0 \right)\Rightarrow I{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2$ và ${{R}^{2}}=3$ suy ra $3\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\le 6\Leftrightarrow 1\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4$
Kết hợp $a,b\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 1 \\
& b=\pm 1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=\pm 2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm 2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.