Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=4$. Xét hai điểm M, N di động trên $\left( S \right)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}$ bằng
A. 10.
B. $-4-3\sqrt{5}$.
C. 5.
D. $-6-2\sqrt{5}$.
A. 10.
B. $-4-3\sqrt{5}$.
C. 5.
D. $-6-2\sqrt{5}$.
Xét điểm $M\left( x;y;z \right),N\left( a;b;c \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( S \right) \\
& N\in \left( S \right) \\
& MN=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+4 \right)}^{2}}=4\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=4\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=1\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (1) – (2) theo vế có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=6\left( y-b \right)-8\left( z-c \right)$.
Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Coossi (Bunhiacốpxki) và (3) ta có
$O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=6\left( y-b \right)-8\left( z-c \right)$
$\ge -\sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{8}^{2}} \right)\left[ {{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}} \right]}\ge -\sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{8}^{2}} \right)\left[ \left( y-{{a}^{2}} \right)+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}} \right]}=-10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+4 \right)}^{2}}=4 \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=4 \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=1 \\
& x-a=0 \\
& \dfrac{y-b}{6}=\dfrac{z-c}{-8}=k<0 \\
\end{aligned} \right.$.
& M\in \left( S \right) \\
& N\in \left( S \right) \\
& MN=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+4 \right)}^{2}}=4\text{ }\left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=4\text{ }\left( 2 \right) \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=1\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy (1) – (2) theo vế có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=6\left( y-b \right)-8\left( z-c \right)$.
Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Coossi (Bunhiacốpxki) và (3) ta có
$O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=6\left( y-b \right)-8\left( z-c \right)$
$\ge -\sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{8}^{2}} \right)\left[ {{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}} \right]}\ge -\sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{8}^{2}} \right)\left[ \left( y-{{a}^{2}} \right)+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}} \right]}=-10$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+4 \right)}^{2}}=4 \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}=4 \\
& {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}=1 \\
& x-a=0 \\
& \dfrac{y-b}{6}=\dfrac{z-c}{-8}=k<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.