Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4

. Xét hai điểm M, N di động trên

(S)

sao cho

M N = 1

. Giá trị nhỏ nhất của

O M^{2} - O N^{2}

bằng
A. 10.
B.

- 4 - 3 \sqrt{5}

.
C. 5.
D.

- 6 - 2 \sqrt{5}

.

Xét điểm

M (x; y; z), N (a; b; c)

ta có

{\begin{aligned} M \in (S) \\ N \in (S) \\ M N = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4 (1) \\ a^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(c + 4)}^{2} = 4 (2) \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = 1 (3) \end{aligned}

Lấy (1) – (2) theo vế có:

x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} = 6 (y - b) - 8 (z - c)

.
Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Coossi (Bunhiacốpxki) và (3) ta có

O M^{2} - O N^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} = 6 (y - b) - 8 (z - c)

\geq - \sqrt{(6^{2} + 8^{2}) [{(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}]} \geq - \sqrt{(6^{2} + 8^{2}) [(y - a^{2}) + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}]} = - 10

.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

{\begin{aligned} x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4 \\ a^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(c + 4)}^{2} = 4 \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = 1 \\ x - a = 0 \\ \frac{y - b}{6} = \frac{z - c}{- 8} = k < 0 \end{aligned}

.

Đáp án A.