Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $2x-y-4=0$. Biết rằng mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$. Xác định tọa độ tâm H của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$.
A. $H\left( 1;0;1 \right)$.
B. $H\left( -2;0;-2 \right)$.
C. $H\left( 2;0;2 \right)$.
D. $H\left( -1;0;-1 \right)$.
A. $H\left( 1;0;1 \right)$.
B. $H\left( -2;0;-2 \right)$.
C. $H\left( 2;0;2 \right)$.
D. $H\left( -1;0;-1 \right)$.
Tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của tâm $I=\left( 0;1;2 \right)$ của mặt cầu $\left( S \right)$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Do đó vectơ pháp tuyến $\vec{n}\left( 2;-1;0 \right)$ của mặt phẳng $\left( P \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH.
Suy ra phương trình đường thẳng IH là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì H là giao điểm của đường thẳng IH và mặt phẳng $\left( P \right)$ nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
& 2x-y-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H=\left( 2;0;2 \right)$
Do đó vectơ pháp tuyến $\vec{n}\left( 2;-1;0 \right)$ của mặt phẳng $\left( P \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH.
Suy ra phương trình đường thẳng IH là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì H là giao điểm của đường thẳng IH và mặt phẳng $\left( P \right)$ nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=1-t \\
& z=2 \\
& 2x-y-4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H=\left( 2;0;2 \right)$
Đáp án C.