Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng...

Phương pháp:
- Tính độ dài đoạn thẳng $IM$ với $I$ là tâm mặt cầu.
- Tham số hóa tọa độ điểm $M,$ sau đó dựa vào độ dài đoạn thẳng $IM$ để tìm điểm $M.$
Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}.$
Đặt $MA=MB=MC=a.$
Tam giác $MAB$ có $\left\{ \begin{aligned}
& MA=MB \\
& \angle AMB={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta MAB $ đều $ \Rightarrow AB=a.$
Tam giác $MBC$ có $\left\{ \begin{aligned}
& MB=MC=a \\
& \angle BMC={{90}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta MBC $ vuông cân tại $ M\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$
Tam giác $MCA$ có $\left\{ \begin{aligned}
& MC=MA=a \\
& \angle MAC={{120}^{0}} \\
\end{aligned} \right., $ áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được $ CA=a\sqrt{3}.$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$ (định lí Pytago đảo).
$\Rightarrow \Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn đường kính $AC,$ bán kính $R=HA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (với $H$ là trung điểm của $AC$ ).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $IAM$ ta có:
$\dfrac{1}{H{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{27}\Leftrightarrow a=3=MA=MB=MC.$
$\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}={{3}^{2}}+27=36$
Vì $M\in d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$ nên gọi $M\left( -1+t;-2+t;1+t \right)$.
$\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}=36$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& M\left( -1;-2;1 \right) \\
& M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow a=-1,b=-2,c=1.$
Vậy $a+b+c=-1-2+1=-2.$