Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm...

Ta có: suy ra mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại điểm (do đường thẳng nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu tại ).
Gọi và .
Do thẳng hàng nên .
Để ý thấy vuông tại và nên .
Khi đó, nếu gọi , , lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , đường tròn ngoại tiếp , đường tròn ngoại tiếp ta có:
Lại có: ${{S}_{\Delta IMN}}=\frac{1}{2}.IA.MN=\frac{1}{2}.3.MN=\frac{3MN}{2}{{R}_{2}}=\frac{IM.IN.MN}{4{{S}_{\Delta IMN}}}\Leftrightarrow \frac{13}{2}=\frac{IM.IN}{4.\frac{3}{2}}\Leftrightarrow IM.IN=39\Leftrightarrow I{{M}^{2}}.I{{N}^{2}}=1521\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=1521\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+\frac{81}{{{\left( a-9 \right)}^{2}}} \right]=1521\Leftrightarrow \left( t+10 \right)\left( 90+\frac{81}{t} \right)=1521t={{\left( a-9 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow 90{{\left( t-3 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow {{\left( a-9 \right)}^{2}}=3\Rightarrow {{\left( b-1 \right)}^{2}}=\frac{81}{3}=27\left\{ \begin{align}
& A{{M}^{2}}={{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=4 \\
& A{{N}^{2}}={{\left( -9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=108 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow AM.AN=\sqrt{4}.\sqrt{108}=12\sqrt{3}$.