Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 1;3;9 \right)$ có bán kính bằng 3. Gọi $M$, $N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox$, $Oz$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $\left( S \right)$, đồng thời cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{13}{2}$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ và $\left( S \right)$, giá trị $AM.AN$ bằng
A. $39$.
B. $12\sqrt{3}$.
C. $18$.
D. $28\sqrt{3}$.
A. $39$.
B. $12\sqrt{3}$.
C. $18$.
D. $28\sqrt{3}$.
Ta có: $d\left( I;\left( Oxz \right) \right)=3=R$ suy ra mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ tại điểm $A\left( 1;0;9 \right)$ (do đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $A$ ).
Gọi $M\left( a;0;0 \right)$ và $N\left( 0;0;b \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( a-9;0;-1 \right),\overrightarrow{AN}=\left( -9;0;b-1 \right)$.
Do $A,M,N$ thẳng hàng nên $\dfrac{a-9}{-9}=\dfrac{-1}{b-1}\Leftrightarrow b-1=\dfrac{9}{a-9}$.
Để ý thấy $\Delta OMN$ vuông tại $O$ và $IA\bot \left( OMN \right)$ nên $\left( IMN \right)\bot \left( OMN \right)$.
Khi đó, nếu gọi $R$, ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$, đường tròn ngoại tiếp $\Delta OMN$, đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$ ta có:
Mặt khác: ${{R}_{2}}=\frac{IM.IN.MN}{4{{S}_{\Delta IMN}}}\Leftrightarrow \frac{13}{2}=\frac{IM.IN}{4.\frac{3}{2}}\Leftrightarrow IM.IN=39$.
$\Leftrightarrow I{{M}^{2}}.I{{N}^{2}}=1521\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=1521$.
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+\frac{81}{{{\left( a-9 \right)}^{2}}} \right]=1521\Leftrightarrow \left( t+10 \right)\left( 90+\frac{81}{t} \right)=1521$, $t={{\left( a-9 \right)}^{2}}>0$.
$\Leftrightarrow 90{{\left( t-3 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow {{\left( a-9 \right)}^{2}}=3\Rightarrow {{\left( b-1 \right)}^{2}}=\frac{81}{3}=27$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align}
& A{{M}^{2}}={{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=4 \\
& A{{N}^{2}}={{\left( -9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=108 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow AM.AN=\sqrt{4}.\sqrt{108}=12\sqrt{3}$.
Gọi $M\left( a;0;0 \right)$ và $N\left( 0;0;b \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( a-9;0;-1 \right),\overrightarrow{AN}=\left( -9;0;b-1 \right)$.
Do $A,M,N$ thẳng hàng nên $\dfrac{a-9}{-9}=\dfrac{-1}{b-1}\Leftrightarrow b-1=\dfrac{9}{a-9}$.
Để ý thấy $\Delta OMN$ vuông tại $O$ và $IA\bot \left( OMN \right)$ nên $\left( IMN \right)\bot \left( OMN \right)$.
Khi đó, nếu gọi $R$, ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$, đường tròn ngoại tiếp $\Delta OMN$, đường tròn ngoại tiếp $\Delta IMN$ ta có:
${{R}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}$ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}+R_{2}^{2}-\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}\Leftrightarrow R={{R}_{2}}$ $$
Lại có: ${{S}_{\Delta IMN}}=\frac{1}{2}.IA.MN=\frac{1}{2}.3.MN=\frac{3MN}{2}$.Mặt khác: ${{R}_{2}}=\frac{IM.IN.MN}{4{{S}_{\Delta IMN}}}\Leftrightarrow \frac{13}{2}=\frac{IM.IN}{4.\frac{3}{2}}\Leftrightarrow IM.IN=39$.
$\Leftrightarrow I{{M}^{2}}.I{{N}^{2}}=1521\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=1521$.
$\Leftrightarrow \left[ {{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}} \right]\left[ {{9}^{2}}+{{3}^{2}}+\frac{81}{{{\left( a-9 \right)}^{2}}} \right]=1521\Leftrightarrow \left( t+10 \right)\left( 90+\frac{81}{t} \right)=1521$, $t={{\left( a-9 \right)}^{2}}>0$.
$\Leftrightarrow 90{{\left( t-3 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow {{\left( a-9 \right)}^{2}}=3\Rightarrow {{\left( b-1 \right)}^{2}}=\frac{81}{3}=27$.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align}
& A{{M}^{2}}={{\left( a-9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=4 \\
& A{{N}^{2}}={{\left( -9 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=108 \\
\end{align} \right.$$\Rightarrow AM.AN=\sqrt{4}.\sqrt{108}=12\sqrt{3}$.
Đáp án B.