Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16.$ Từ gốc tọa độ $O$ kẻ tiếp tuyến $OM$ bất kì ( $M$ là tiếp điểm) với mặt cầu $\left( S \right).$ Khi đó điểm $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây?
A. $4x-3z+9=0$
B. $-4x+3z+9=0$
C. $4x-3z+6=0$
D. $4x-3z+15=0$
A. $4x-3z+9=0$
B. $-4x+3z+9=0$
C. $4x-3z+6=0$
D. $4x-3z+15=0$
Phương pháp:
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Gọi $M\left( x;y;z \right)$, tính $OM.$
- Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& OM \\
& M\in \left( S \right) \\
\end{aligned} \right. $ tìm mặt phẳng luôn chứa $ M.$
Cách giải:
Ta có $O$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right).$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -4;0;3 \right),$ bán kính $R=4.$
Gọi $M\left( x;y;z \right).$ Vì $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\left( 1 \right).$
Ta có: $OI=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{3}^{2}}}=5,IM=R=4$ nên $OM=\sqrt{O{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}=3.$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 8x-6z+18=0\Leftrightarrow 4x-3z+9=0.$
Vậy $M$ luôn thuộc mặt phẳng $4x-3z+9=0.$
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Gọi $M\left( x;y;z \right)$, tính $OM.$
- Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& OM \\
& M\in \left( S \right) \\
\end{aligned} \right. $ tìm mặt phẳng luôn chứa $ M.$
Cách giải:
Ta có $O$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right).$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -4;0;3 \right),$ bán kính $R=4.$
Gọi $M\left( x;y;z \right).$ Vì $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\left( 1 \right).$
Ta có: $OI=\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}+{{3}^{2}}}=5,IM=R=4$ nên $OM=\sqrt{O{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}=3.$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 8x-6z+18=0\Leftrightarrow 4x-3z+9=0.$
Vậy $M$ luôn thuộc mặt phẳng $4x-3z+9=0.$
Đáp án A.