Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left(...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(1;2;1),R=3\sqrt{2}$, $IK>R\Rightarrow K$ nằm ngoài mặt cầu.
Ta có $\widehat{KMI}={90}^o$. Suy ra $M$ nằm trên mặt cầu đường kính $IK$, có phương trình là:
${(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2+{(y+1)}^2+{(z-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2={\displaystyle \frac{27}{2}}$
Từ đó suy ra $M\in \left(P\right):x-2y+z-4=0$
Gọi $\left(C\right)$ là đường tròn giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(S\right)\Rightarrow M\in \left(C\right)$. Tâm đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left(P\right)$
Phương trình đương thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $\left(P\right)$ là: $\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2-2t\\ & z=1+t\end{array}$
Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $\left(P\right)$. Điểm $N\in d\Rightarrow N(1+t;2-2t;1+t)$
$N\in \left(P\right)\Rightarrow 1+t-2(2-2t)+1+t-4=0\Rightarrow t=1\Rightarrow N(2;0;2)$
Vậy đường tròn $\left(C\right)$ có tâm là $N$, bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,\left(P\right))}=2\sqrt{3}$
Dẽ thấy đường thẳng $\mathrm{\Delta }\subset \left(P\right)$ và $\mathrm{\Delta }$ không cắt $\left(C\right)$.
Do đó khoảng cách từ $M$ đến $\mathrm{\Delta }$ lớn nhất bằng $d(N,\mathrm{\Delta })+r={\displaystyle \frac{2\sqrt{14}}{7}}+2\sqrt{3}\approx 4,53$.