Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=18$ và $K\left( 4;-4;4 \right)$. Kẻ tiếp tuyến $KM$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ với $M\in \left( S \right)$. Khi đó khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-4}{-4}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $2,3$.
B. $4,5$.
C. $1,2$.
D. $3,5$.
A. $2,3$.
B. $4,5$.
C. $1,2$.
D. $3,5$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;1 \right),R=3\sqrt{2}$, $IK>R\Rightarrow K$ nằm ngoài mặt cầu.
Ta có $\widehat{KMI}={{90}^{o}}$. Suy ra $M$ nằm trên mặt cầu đường kính $IK$, có phương trình là:
${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{27}{2}$
Từ đó suy ra $M\in \left( P \right):x-2y+z-4=0$
Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)\Rightarrow M\in \left( C \right)$. Tâm đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$
Phương trình đương thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$. Điểm $N\in d\Rightarrow N\left( 1+t;2-2t;1+t \right)$
$N\in \left( P \right)\Rightarrow 1+t-2\left( 2-2t \right)+1+t-4=0\Rightarrow t=1\Rightarrow N\left( 2;0;2 \right)$
Vậy đường tròn $\left( C \right)$ có tâm là $N$, bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=2\sqrt{3}$
Dẽ thấy đường thẳng $\Delta \subset \left( P \right)$ và $\Delta $ không cắt $\left( C \right)$.
Do đó khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ lớn nhất bằng $d\left( N,\Delta \right)+r=\dfrac{2\sqrt{14}}{7}+2\sqrt{3}\approx 4,53$.
Ta có $\widehat{KMI}={{90}^{o}}$. Suy ra $M$ nằm trên mặt cầu đường kính $IK$, có phương trình là:
${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{27}{2}$
Từ đó suy ra $M\in \left( P \right):x-2y+z-4=0$
Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)\Rightarrow M\in \left( C \right)$. Tâm đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$
Phương trình đương thẳng $d$ qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-2t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$. Điểm $N\in d\Rightarrow N\left( 1+t;2-2t;1+t \right)$
$N\in \left( P \right)\Rightarrow 1+t-2\left( 2-2t \right)+1+t-4=0\Rightarrow t=1\Rightarrow N\left( 2;0;2 \right)$
Vậy đường tròn $\left( C \right)$ có tâm là $N$, bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=2\sqrt{3}$
Dẽ thấy đường thẳng $\Delta \subset \left( P \right)$ và $\Delta $ không cắt $\left( C \right)$.
Do đó khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ lớn nhất bằng $d\left( N,\Delta \right)+r=\dfrac{2\sqrt{14}}{7}+2\sqrt{3}\approx 4,53$.
Đáp án B.