Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-2y+2z+11=0$. Lấy điểm $M$ tùy ý trên $\left( \alpha \right).$ Từ $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$, với $A, B, C$ là các tiếp tuyến đôi một phân biệt. Khi $M$ thay đổi thì mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua một điểm cố định $H\left( a;b;c \right).$ Tổng $a+b+c$ bằng
A. 2.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $-\dfrac{3}{4}$.
D. $0$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, do $M\in \left( \alpha \right)\Leftrightarrow {{x}_{0}}-2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}+11=0.$
Ta có: $\overrightarrow{IM}=\left( {{x}_{0}}-1;{{y}_{0}}-1;{{z}_{0}}-1 \right)$, $\left( ABC \right)=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( 1-x \right)+\left( {{y}_{0}}-1 \right)\left( 1-y \right)+\left( {{z}_{0}}-1 \right)\left( 1-z \right)=0$
$IH=\text{d}\left( I,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( 1-a \right)+\left( {{y}_{0}}-1 \right)\left( 1-b \right)+\left( {{z}_{0}}-1 \right)\left( 1-c \right) \right|}{\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}$ $I{{A}^{2}}=IH.IM\Leftrightarrow 12=\left| {{x}_{0}}\left( 1-a \right)+{{y}_{0}}\left( 1-b \right)+{{z}_{0}}\left( 1-c \right)+a+b+c-3 \right|$ Do $H$ là điểm cố định nên: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-a=k \\
& 1-b=-2k \\
& 1-c=2k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| -12k \right|=12\Leftrightarrow \left| k \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=1 \\
& k=-1(\text{L)} \\
\end{aligned} \right. $ (do $ I, M $ khác phía so với mặt phẳng $ \left( ABC \right) $). Suy ra $ H\left( 0;3;-1 \right)$.
A. 2.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $-\dfrac{3}{4}$.
D. $0$.
Ta có: $\overrightarrow{IM}=\left( {{x}_{0}}-1;{{y}_{0}}-1;{{z}_{0}}-1 \right)$, $\left( ABC \right)=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( 1-x \right)+\left( {{y}_{0}}-1 \right)\left( 1-y \right)+\left( {{z}_{0}}-1 \right)\left( 1-z \right)=0$
$IH=\text{d}\left( I,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \left( {{x}_{0}}-1 \right)\left( 1-a \right)+\left( {{y}_{0}}-1 \right)\left( 1-b \right)+\left( {{z}_{0}}-1 \right)\left( 1-c \right) \right|}{\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{0}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}$ $I{{A}^{2}}=IH.IM\Leftrightarrow 12=\left| {{x}_{0}}\left( 1-a \right)+{{y}_{0}}\left( 1-b \right)+{{z}_{0}}\left( 1-c \right)+a+b+c-3 \right|$ Do $H$ là điểm cố định nên: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-a=k \\
& 1-b=-2k \\
& 1-c=2k \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| -12k \right|=12\Leftrightarrow \left| k \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=1 \\
& k=-1(\text{L)} \\
\end{aligned} \right. $ (do $ I, M $ khác phía so với mặt phẳng $ \left( ABC \right) $). Suy ra $ H\left( 0;3;-1 \right)$.
Đáp án A.
