Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=8$ và hai điểm $A\left( 3 ;0 ;0 \right)$, $B\left( 4 ;2 ;1 \right)$. Điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của $MA+2MB$ bằng:
A. $\sqrt{6}$.
B. $\sqrt{21}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{5}$.
A. $\sqrt{6}$.
B. $\sqrt{21}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $2\sqrt{5}$.
+ Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1 ;4 ;0 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
+ Ta có $IA=4\sqrt{2}=2R=2IM ; IB=\sqrt{30}>R$ nên $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right).$
+ Lấy điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IA}$. Suy ra $K\left( 0 ;3 ;0 \right).$
+ Ta có $IK=\dfrac{1}{2}R=\dfrac{1}{2}IM$ nên $K$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
+ Lại có $\Delta IAM\backsim \Delta IMK\ \left( c.g.c \right)$ suy ra $\dfrac{MA}{KM}=\dfrac{IA}{IM}=2\Leftrightarrow MA=2MK.$
+ Khi đó $MA+2MB=2MK+2MB\ge 2BK=6\sqrt{2}$.
+ Dấu đẳng thức xảy ra khi $M=BK\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,\ K.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+2MB$ bằng $6\sqrt{2}.$
+ Ta có $IA=4\sqrt{2}=2R=2IM ; IB=\sqrt{30}>R$ nên $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right).$
+ Lấy điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IA}$. Suy ra $K\left( 0 ;3 ;0 \right).$
+ Ta có $IK=\dfrac{1}{2}R=\dfrac{1}{2}IM$ nên $K$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
+ Lại có $\Delta IAM\backsim \Delta IMK\ \left( c.g.c \right)$ suy ra $\dfrac{MA}{KM}=\dfrac{IA}{IM}=2\Leftrightarrow MA=2MK.$
+ Khi đó $MA+2MB=2MK+2MB\ge 2BK=6\sqrt{2}$.
+ Dấu đẳng thức xảy ra khi $M=BK\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,\ K.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA+2MB$ bằng $6\sqrt{2}.$
Đáp án C.