Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1.$ Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $M$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $A\left( a;0;0 \right), B\left( 0;b;0 \right)$ mà $a,b$ là các số nguyên dương và $\widehat{AMB}=90{}^\circ ?$
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $2$.
Gọi $K$ là tâm mặt cầu và $I$ là trung điểm $AB$
Ta có tam giác $AMB$ vuông tại $M$ và $I$ là trung điểm $AB$ suy ra $MI=\dfrac{1}{2}AB=OI$ ( $O$ là gốc tọa độ )
$\begin{aligned}
& O{{I}^{2}}=M{{I}^{2}}\Leftrightarrow O{{I}^{2}}=K{{I}^{2}}-M{{K}^{2}}\Leftrightarrow K{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}=M{{K}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{I}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{I}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}-\left( x_{I}^{2}+y_{I}^{2}+z_{I}^{2} \right)=1\Leftrightarrow 6{{x}_{I}}+4{{y}_{I}}+2{{z}_{I}}=13 \\
& \Leftrightarrow 6{{x}_{I}}+4{{y}_{I}}=13 (do {{z}_{I}}=0)\Leftrightarrow 3{{x}_{A}}+2{{y}_{B}}=13\Leftrightarrow 3a+2b=13 \\
\end{aligned}$
Mà $a,b$ nguyên dương suy ra chỉ có hai cặp thỏa $\left( 1;5 \right);\left( 3;2 \right)$. Ứng với mỗi cặp điểm $A$, $B$ thì có duy nhất một điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.
Ta có tam giác $AMB$ vuông tại $M$ và $I$ là trung điểm $AB$ suy ra $MI=\dfrac{1}{2}AB=OI$ ( $O$ là gốc tọa độ )
$\begin{aligned}
& O{{I}^{2}}=M{{I}^{2}}\Leftrightarrow O{{I}^{2}}=K{{I}^{2}}-M{{K}^{2}}\Leftrightarrow K{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}=M{{K}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{I}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{I}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}-\left( x_{I}^{2}+y_{I}^{2}+z_{I}^{2} \right)=1\Leftrightarrow 6{{x}_{I}}+4{{y}_{I}}+2{{z}_{I}}=13 \\
& \Leftrightarrow 6{{x}_{I}}+4{{y}_{I}}=13 (do {{z}_{I}}=0)\Leftrightarrow 3{{x}_{A}}+2{{y}_{B}}=13\Leftrightarrow 3a+2b=13 \\
\end{aligned}$
Mà $a,b$ nguyên dương suy ra chỉ có hai cặp thỏa $\left( 1;5 \right);\left( 3;2 \right)$. Ứng với mỗi cặp điểm $A$, $B$ thì có duy nhất một điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
