Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=48$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 0;0;-4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, đường tròn đáy là $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất bằng:
A. $\dfrac{128\pi }{3}$.
B. $39\pi $.
C. $\dfrac{88\pi }{3}$.
D. $\dfrac{215\pi }{3}$.
Ta có tâm mặt cầu $\left( S \right)$ là $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=4\sqrt{3}$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm cầu $I$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
Vậy chiều cao của khối nón $\left( N \right)$ là $h={{d}_{\left( I,\left( \alpha \right) \right)}}=IH\le IK$, trong đó $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB$, nên ta có
$\left( Q \right):x+2z-7=0$
Phương trình $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-4+2t \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tọa độ $K$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-7=0 \\
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-4+2t \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=3 \\
& x=3 \\
& y=0 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow K\left( 3;0;2 \right)$ $\Rightarrow IK=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}=3\Rightarrow h\in \left[ 0;3 \right]$
Bán kính đáy của khối nón $\left( N \right)$ $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{48-{{h}^{2}}}$
Vậy thể tích của khối nón $\left( N \right)$ $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 48-{{h}^{2}} \right).h=16\pi h-\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{3}}$ $, h\in \left[ 0;3 \right]$
Ta có $V'=16\pi -\pi {{h}^{2}}$
$V'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=4\notin \left[ 0;3 \right] \\
& h=-4\notin \left[ 0;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Khi $h=0\Rightarrow V=0$
Khi $h=3\Rightarrow V=39\pi $
Vậy ${{V}_{\max }}=39\pi $.
A. $\dfrac{128\pi }{3}$.
B. $39\pi $.
C. $\dfrac{88\pi }{3}$.
D. $\dfrac{215\pi }{3}$.
Ta có tâm mặt cầu $\left( S \right)$ là $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=4\sqrt{3}$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm cầu $I$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
Vậy chiều cao của khối nón $\left( N \right)$ là $h={{d}_{\left( I,\left( \alpha \right) \right)}}=IH\le IK$, trong đó $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc với $AB$, nên ta có
$\left( Q \right):x+2z-7=0$
Phương trình $AB:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-4+2t \\
\end{aligned} \right.$
Vậy tọa độ $K$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-7=0 \\
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-4+2t \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=3 \\
& x=3 \\
& y=0 \\
& z=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow K\left( 3;0;2 \right)$ $\Rightarrow IK=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 0+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}=3\Rightarrow h\in \left[ 0;3 \right]$
Bán kính đáy của khối nón $\left( N \right)$ $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{48-{{h}^{2}}}$
Vậy thể tích của khối nón $\left( N \right)$ $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 48-{{h}^{2}} \right).h=16\pi h-\dfrac{1}{3}\pi {{h}^{3}}$ $, h\in \left[ 0;3 \right]$
Ta có $V'=16\pi -\pi {{h}^{2}}$
$V'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=4\notin \left[ 0;3 \right] \\
& h=-4\notin \left[ 0;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Khi $h=0\Rightarrow V=0$
Khi $h=3\Rightarrow V=39\pi $
Vậy ${{V}_{\max }}=39\pi $.
Đáp án B.