Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=15$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A\left( 0; 0; -4 \right)$, song song với đường thẳng $\Delta : \left\{ \begin{aligned}
& x=4+t \\
& y=2 \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right. $ và cắt $ \left( S \right) $ theo giao tuyến là đường tròn $ \left( C \right) $ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $ \left( S \right) $ và đáy là đường tròn $ \left( C \right) $, có thể tích lớn nhất. Biết rằng $ \left( \alpha \right):ax+by-z+c=0 $. Khi đó $ a+2b+c$ bằng
A. $6$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $3$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-1;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{15}$.
Vì $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ đi qua điểm $A\left( 0; 0; -4 \right)$ nên $c=-4$ và song song với $\Delta : \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2 \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $ nên $ a=2 $. Suy ra $ \left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
Đặt $IH=x$, với $0<x<\sqrt{15}$ ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ $=\sqrt{15-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!{{r}^{2}}IH$ $=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!\left( 15-{{x}^{2}} \right)x$ $=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\!\!\pi\!\!\sqrt{\left( 15-{{x}^{2}} \right).\left( 15-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}}$
Ta có: ${{V}^{2}}=\dfrac{1}{18}{{\!\!\pi\!\!}^{2}}.\left( 15-{{x}^{2}} \right).\left( 15-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}$ $\le \dfrac{1}{18}{{\pi }^{2}}.{{\left( \dfrac{2\left( 15-{{x}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{{{10}^{3}}}{18}{{\pi }^{2}}$ $\Rightarrow V\le \dfrac{10}{3}\sqrt{5}\pi $
${{V}_{\max }}=\dfrac{10}{3}\sqrt{5}\pi $ khi $15-{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{5}$.
Khi đó, $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}-10b=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $b=0\Rightarrow \left( \alpha \right):2x-z-4=0$, khi đó $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ (loại)
Với $b=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow \left( \alpha \right):2x+\dfrac{5}{2}y-z-4=0$, khi đó $\Delta //\left( \alpha \right)$ thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $a+2b+c=6$.
& x=4+t \\
& y=2 \\
& z=4+2t \\
\end{aligned} \right. $ và cắt $ \left( S \right) $ theo giao tuyến là đường tròn $ \left( C \right) $ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $ \left( S \right) $ và đáy là đường tròn $ \left( C \right) $, có thể tích lớn nhất. Biết rằng $ \left( \alpha \right):ax+by-z+c=0 $. Khi đó $ a+2b+c$ bằng
A. $6$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $3$.
Vì $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ đi qua điểm $A\left( 0; 0; -4 \right)$ nên $c=-4$ và song song với $\Delta : \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=2 \\
& z=3+2t \\
\end{aligned} \right. $ nên $ a=2 $. Suy ra $ \left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
Đặt $IH=x$, với $0<x<\sqrt{15}$ ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ $=\sqrt{15-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!{{r}^{2}}IH$ $=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!\left( 15-{{x}^{2}} \right)x$ $=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\!\!\pi\!\!\sqrt{\left( 15-{{x}^{2}} \right).\left( 15-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}}$
Ta có: ${{V}^{2}}=\dfrac{1}{18}{{\!\!\pi\!\!}^{2}}.\left( 15-{{x}^{2}} \right).\left( 15-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}$ $\le \dfrac{1}{18}{{\pi }^{2}}.{{\left( \dfrac{2\left( 15-{{x}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{{{10}^{3}}}{18}{{\pi }^{2}}$ $\Rightarrow V\le \dfrac{10}{3}\sqrt{5}\pi $
${{V}_{\max }}=\dfrac{10}{3}\sqrt{5}\pi $ khi $15-{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{5}$.
Khi đó, $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}-10b=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $b=0\Rightarrow \left( \alpha \right):2x-z-4=0$, khi đó $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ (loại)
Với $b=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow \left( \alpha \right):2x+\dfrac{5}{2}y-z-4=0$, khi đó $\Delta //\left( \alpha \right)$ thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $a+2b+c=6$.
Đáp án A.