Trong không gian $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left(...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 27

. Gọi

(α)

là mặt phẳng đi qua

2

điểm

A (0; 0; - 4), B (2; 0; 0)

và cắt

(S)

theo giao tuyến là đường tròn

(C)

sao cho khối nón có đỉnh là tâm

(S)

, là hình tròn

(C)

có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng

(α)

có phương trình dạng

a x + b y - z + c = 0

, khi đó

a - 2 b + 3 c

bằng
A.

10

.
B.

- 8

.
C.

0

.
D.

- 14

.

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; - 2; 3)

, bán kính

R = 3 \sqrt{3}

Gọi

h

là khoảng cách từ điểm

I

đến mặt phẳng

(α)

và

r

là bán kính của đường tròn

(C)

\Rightarrow

Thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (R^{2} - h^{2}) . h = \frac{1}{3} π (R^{2} h - h^{3})

Xét

f (h) = R^{2} h - h^{3} \Rightarrow f^{'} (h) = R^{2} - 3 h^{2}

f^{'} (h) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}}

Từ BBT suy ra thể tích khối nón lớn nhất khi

h = \frac{R}{\sqrt{3}} = 3 \Leftrightarrow d (I, (α)) = 3

Theo giả thiết mặt phẳng

(α)

đi qua hai điểm

A, B \Rightarrow {\begin{aligned} c = - 4 \\ 2 a + c = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} c = - 4 \\ a = 2 \end{aligned}

\Rightarrow (α) : 2 x + b y - z - 4 = 0

Mà

d (I, (α)) = 3 \Leftrightarrow \frac{| 4 b + 5 |}{\sqrt{5 + b^{3}}} = 3 \Leftrightarrow b = 2

\Rightarrow

a - 2 b + 3 c = - 14

Đáp án D.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left(...