Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $2$ điểm $A\left( 0;0;-4 \right), B\left( 2;0;0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm $\left( S \right)$, là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$, khi đó $a-2b+3c$ bằng
A. $10$.
B. $-8$.
C. $0$.
D. $-14$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; -2;3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$
Gọi $h$ là khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $r$ là bán kính của đường tròn $\left( C \right)$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{h}^{2}} \right).h=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}h-{{h}^{3}} \right)$
Xét $f\left( h \right)={{R}^{2}}h-{{h}^{3}}\Rightarrow {f}'\left( h \right)={{R}^{2}}-3{{h}^{2}}$
${f}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
Từ BBT suy ra thể tích khối nón lớn nhất khi $h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}=3\Leftrightarrow d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=3$
Theo giả thiết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $A,B\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& 2a+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$
Mà $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4b+5 \right|}{\sqrt{5+{{b}^{3}}}}=3\Leftrightarrow b=2$ $\Rightarrow $ $a-2b+3c=-14$
A. $10$.
B. $-8$.
C. $0$.
D. $-14$.
Gọi $h$ là khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $r$ là bán kính của đường tròn $\left( C \right)$
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{h}^{2}} \right).h=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}h-{{h}^{3}} \right)$
Xét $f\left( h \right)={{R}^{2}}h-{{h}^{3}}\Rightarrow {f}'\left( h \right)={{R}^{2}}-3{{h}^{2}}$
${f}'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$
Theo giả thiết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $A,B\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& 2a+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$
Mà $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4b+5 \right|}{\sqrt{5+{{b}^{3}}}}=3\Leftrightarrow b=2$ $\Rightarrow $ $a-2b+3c=-14$
Đáp án D.