Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left(...

The Professor · 18/12/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 27

. Gọi

(α)

là mặt phẳng đi qua hai điểm

A (0; 0; - 4)

,

B (2; 0; 0)

và cắt

(S)

theo giao tuyến là đường tròn

(C)

sao cho khối nón đỉnh là tâm của

(S)

và đáy là là đường tròn

(C)

có thể tích lớn nhất. Biết rằng

(α) : a x + b y - z + c = 0

, khi đó

a - b + c

bằng
A.

0

.
B.

2

.
C.

- 4

.
D.

8

.

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; - 2; 3)

và bán kính

R = 3 \sqrt{3}

.
Vì

(α) : a x + b y - z + c = 0

đi qua hai điểm

A (0; 0; - 4)

,

B (2; 0; 0)

nên

c = - 4

và

a = 2

.
Suy ra

(α) : 2 x + b y - z - 4 = 0

.
Đặt

I H = x

, với

0 < x < 3 \sqrt{3}

ta có

r = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

= \sqrt{27 - x^{2}}

.
Thể tích khối nón là

V = \frac{1}{3} π r^{2} I H

= \frac{1}{3} π (27 - x^{2}) x

= \frac{1}{3 \sqrt{2}} π \sqrt{(27 - x^{2}) . (27 - x^{2}) .2 x^{2}}

\leq 18 π

.

V_{max} = 18 π

khi

27 - x^{2} = x^{2}

\Leftrightarrow x = 3

.
Khi đó,

d (I; (α))

= \frac{| 2 b + 5 |}{\sqrt{b^{2} + 5}}

= 3

\Leftrightarrow {(2 b + 5)}^{2} = 9 (b^{2} + 5)

\Leftrightarrow b = 2

.
Vậy

a - b + c = - 4

.

Đáp án C.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left(...