Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 0 ; 0 ; -4 \right)$, $B\left( 2; 0; 0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón đỉnh là tâm của $\left( S \right)$ và đáy là là đường tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết rằng $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng
A. $0$.
B. $2$.
C. $-4$.
D. $8$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1 ; -2 ; 3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Vì $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ đi qua hai điểm $A\left( 0 ; 0 ; -4 \right)$, $B\left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ nên $c=-4$ và $a=2$.
Suy ra $\left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
Đặt $IH=x$, với $0<x<3\sqrt{3}$ ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ $=\sqrt{27-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!{{r}^{2}}IH$ $=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!\left( 27-{{x}^{2}} \right)x$ $=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\!\!\pi\!\!\sqrt{\left( 27-{{x}^{2}} \right).\left( 27-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}}$ $\le 18\!\!\pi\!\!$.
${{V}_{\max }}=18\!\!\pi\!\!$ khi $27-{{x}^{2}}={{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=3$.
Khi đó, $d\left( I ; \left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$ $=3$ $\Leftrightarrow {{\left( 2b+5 \right)}^{2}}=9\left( {{b}^{2}}+5 \right)$ $\Leftrightarrow b=2$.
Vậy $a-b+c=-4$.
A. $0$.
B. $2$.
C. $-4$.
D. $8$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1 ; -2 ; 3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Vì $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ đi qua hai điểm $A\left( 0 ; 0 ; -4 \right)$, $B\left( 2 ; 0 ; 0 \right)$ nên $c=-4$ và $a=2$.
Suy ra $\left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
Đặt $IH=x$, với $0<x<3\sqrt{3}$ ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ $=\sqrt{27-{{x}^{2}}}$.
Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!{{r}^{2}}IH$ $=\dfrac{1}{3}\!\!\pi\!\!\left( 27-{{x}^{2}} \right)x$ $=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\!\!\pi\!\!\sqrt{\left( 27-{{x}^{2}} \right).\left( 27-{{x}^{2}} \right).2{{x}^{2}}}$ $\le 18\!\!\pi\!\!$.
${{V}_{\max }}=18\!\!\pi\!\!$ khi $27-{{x}^{2}}={{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=3$.
Khi đó, $d\left( I ; \left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$ $=3$ $\Leftrightarrow {{\left( 2b+5 \right)}^{2}}=9\left( {{b}^{2}}+5 \right)$ $\Leftrightarrow b=2$.
Vậy $a-b+c=-4$.
Đáp án C.