Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=54$. Hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ đều đi qua gốc tọa độ O và cùng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình $\left( {{d}_{1}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x={{a}_{1}}t \\
& y={{a}_{2}}t \\
& z={{a}_{3}}t \\
\end{aligned} \right.,\ \left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x={{b}_{1}}t \\
& y={{b}_{2}}t \\
& z={{b}_{3}}t \\
\end{aligned} \right.,\ \left( t\in \mathbb{R} \right) $. Khẳng định $ S=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}}+\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}+{{b}_{3}}}$ đúng là
A. $S=0$.
B. $S=-2$.
C. $S=2$.
D. $S=\dfrac{1}{4}$.
& x={{a}_{1}}t \\
& y={{a}_{2}}t \\
& z={{a}_{3}}t \\
\end{aligned} \right.,\ \left( {{d}_{2}} \right):\left\{ \begin{aligned}
& x={{b}_{1}}t \\
& y={{b}_{2}}t \\
& z={{b}_{3}}t \\
\end{aligned} \right.,\ \left( t\in \mathbb{R} \right) $. Khẳng định $ S=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}}+\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}+{{b}_{3}}}$ đúng là
A. $S=0$.
B. $S=-2$.
C. $S=2$.
D. $S=\dfrac{1}{4}$.
Vì cả hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên ${{a}_{3}}={{b}_{3}}=0$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 6;0;6 \right),R=3\sqrt{6}$. Hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $J\left( 6;0;0 \right)$ và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ bằng $3\sqrt{2}$. Vì hai đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn giao tuyến nên khoảng cách từ $J$ đến hai đường thẳng đều bằng $3\sqrt{2}$. Ta có $d\left( J,{{d}_{1}} \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{OJ}\wedge \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}=\dfrac{\left| 6{{a}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}=3\sqrt{2}\Rightarrow 2a_{2}^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\Rightarrow {{a}_{2}}=\pm {{a}_{1}}$.
Với ${{a}_{2}}={{a}_{1}}\Rightarrow {{b}_{2}}=-{{b}_{1}}\Rightarrow S=0$
Với ${{a}_{2}}={{a}_{1}}\Rightarrow {{b}_{2}}=-{{b}_{1}}\Rightarrow S=0$
Đáp án A.