Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$ cắt các trục $Ox,~Oy$ lần lượt tại các điểm $A\left( a;0;0 \right),~B\left( 0;b;0 \right)$ mà $a,b$ là các số nguyên dương và $\widehat{AMB}={{90}^{0}}$ ?
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;2;1 \right)$ và bán kính $R=1$.
Gọi $N$ là trung điểm $AB$ suy ra $N\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};0 \right)$.
Ta có tam giác $IMN$ và $AMB$ là hai tam giác vuông tại $M$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}+M{{N}^{2}}=I{{N}^{2}} \\
& MN=\dfrac{1}{2}AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{1}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3a+2b=13$.
Do $a,b$ là các số nguyên dương nên ta được $\left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=5 \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left\{ \begin{matrix}
a=3 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Với $A\left( 1;0;0 \right)$ và $B\left( 0;5;0 \right)$ khi đó ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}=1 \\
& M{{A}^{2}}=8 \\
& M{{B}^{2}}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{39}{17} \\
& y=\dfrac{158}{85} \\
& z=\dfrac{144}{85} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $A\left( 3;0;0 \right)$ và $B\left( 0;2;0 \right)$ khi đó ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}=1 \\
& M{{A}^{2}}=4 \\
& M{{B}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{123}{49} \\
& y=\dfrac{62}{49} \\
& z=\dfrac{72}{49} \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại: loại điểm $M\left( 3;2;0 \right)$ do tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Vậy có $2$ điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.
Gọi $N$ là trung điểm $AB$ suy ra $N\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};0 \right)$.
Ta có tam giác $IMN$ và $AMB$ là hai tam giác vuông tại $M$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}+M{{N}^{2}}=I{{N}^{2}} \\
& MN=\dfrac{1}{2}AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{1}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}={{\left( \dfrac{a}{2}-3 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3a+2b=13$.
Do $a,b$ là các số nguyên dương nên ta được $\left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=5 \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left\{ \begin{matrix}
a=3 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$.
Với $A\left( 1;0;0 \right)$ và $B\left( 0;5;0 \right)$ khi đó ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}=1 \\
& M{{A}^{2}}=8 \\
& M{{B}^{2}}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{39}{17} \\
& y=\dfrac{158}{85} \\
& z=\dfrac{144}{85} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $A\left( 3;0;0 \right)$ và $B\left( 0;2;0 \right)$ khi đó ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& M{{I}^{2}}=1 \\
& M{{A}^{2}}=4 \\
& M{{B}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{123}{49} \\
& y=\dfrac{62}{49} \\
& z=\dfrac{72}{49} \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại: loại điểm $M\left( 3;2;0 \right)$ do tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Vậy có $2$ điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.