Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3...

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I(3;2;0)$ và bán kính $R=2$.

Ta có $\overrightarrow{AI}=(4;0;0)\Rightarrow AI=4\Rightarrow AI=2IK\Rightarrow {\displaystyle \frac{IA}{IK}}=2$.
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho $IC=1\Rightarrow C$ cố định.
Ta có $\begin{array}{rl}& IC.IA=1.4=4=I{K}^2\Rightarrow \mathrm{\Delta }ICK\sim \mathrm{\Delta }IKA\\ & \Rightarrow {\displaystyle \frac{CK}{KA}}={\displaystyle \frac{IK}{IA}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow KA=2KC\end{array}$
$\Rightarrow KA+2KB=2(KC+KB)\ge 2BC$ (không đổi).
Dấu "=" xảy ra $\iff K=BC\cap \left(S\right)$ và K ở giữa B và C.
Ta có $\overrightarrow{IA}=4\overrightarrow{IC}\Rightarrow C(2;2;0)$.
Đường thẳng BC qua $C(2;2;0)$ và nhận $\overrightarrow{CB}=(0;3;0)$ là một VTCP.
$\Rightarrow BC:\{\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=2+2t\\ & z=0\end{array}\Rightarrow K(2;2t+2;0)$.
Ép cho $K\in \left(S\right)\Rightarrow 1+4t^2=4\Rightarrow t=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& K(2;2+\sqrt{3};0)\\ & K(2;2-\sqrt{3};0)\end{array}$.
Mà K ở giữa B và C $\Rightarrow K(2;2+\sqrt{3};0)$ .