Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và hai điểm $A\left( -1;2;0 \right),B\left( 2;5;0 \right).$ Điểm $K\left( a;b;c \right)$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $KA+2KB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của $a-b+c.$
A. $4-\sqrt{3}.$
B. $-\sqrt{3}.$
C. $4+\sqrt{3}.$
D. $\sqrt{3}.$
A. $4-\sqrt{3}.$
B. $-\sqrt{3}.$
C. $4+\sqrt{3}.$
D. $\sqrt{3}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;2;0 \right)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 4;0;0 \right)\Rightarrow AI=4\Rightarrow AI=2IK\Rightarrow \dfrac{IA}{IK}=2$.
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho $IC=1\Rightarrow C$ cố định.
Ta có $\begin{aligned}
& IC.IA=1.4=4=I{{K}^{2}}\Rightarrow \Delta ICK\sim\Delta IKA \\
& \Rightarrow \dfrac{CK}{KA}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KA=2KC \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow KA+2KB=2\left( KC+KB \right)\ge 2BC$ (không đổi).
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow K=BC\cap \left( S \right)$ và K ở giữa B và C.
Ta có $\overrightarrow{IA}=4\overrightarrow{IC}\Rightarrow C\left( 2;2;0 \right)$.
Đường thẳng BC qua $C\left( 2;2;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{CB}=\left( 0;3;0 \right)$ là một VTCP.
$\Rightarrow BC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2+2t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 2;2t+2;0 \right)$.
Ép cho $K\in \left( S \right)\Rightarrow 1+4{{t}^{2}}=4\Rightarrow t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& K\left( 2;2+\sqrt{3};0 \right) \\
& K\left( 2;2-\sqrt{3};0 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Mà K ở giữa B và C $\Rightarrow K\left( 2;2+\sqrt{3};0 \right)$ .
Ta có $\overrightarrow{AI}=\left( 4;0;0 \right)\Rightarrow AI=4\Rightarrow AI=2IK\Rightarrow \dfrac{IA}{IK}=2$.
Trên đoạn thẳng AI lấy điểm C sao cho $IC=1\Rightarrow C$ cố định.
Ta có $\begin{aligned}
& IC.IA=1.4=4=I{{K}^{2}}\Rightarrow \Delta ICK\sim\Delta IKA \\
& \Rightarrow \dfrac{CK}{KA}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KA=2KC \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow KA+2KB=2\left( KC+KB \right)\ge 2BC$ (không đổi).
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow K=BC\cap \left( S \right)$ và K ở giữa B và C.
Ta có $\overrightarrow{IA}=4\overrightarrow{IC}\Rightarrow C\left( 2;2;0 \right)$.
Đường thẳng BC qua $C\left( 2;2;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{CB}=\left( 0;3;0 \right)$ là một VTCP.
$\Rightarrow BC:\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2+2t \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 2;2t+2;0 \right)$.
Ép cho $K\in \left( S \right)\Rightarrow 1+4{{t}^{2}}=4\Rightarrow t=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& K\left( 2;2+\sqrt{3};0 \right) \\
& K\left( 2;2-\sqrt{3};0 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Mà K ở giữa B và C $\Rightarrow K\left( 2;2+\sqrt{3};0 \right)$ .
Đáp án B.