Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của $\left( P \right)$ là $ax+by-z+c=0$ thì
A. $a+b+c=1.$
B. $a+b+c=6.$
C. $a+b+c=-6.$
D. $a+b+c=2.$
A. $a+b+c=1.$
B. $a+b+c=6.$
C. $a+b+c=-6.$
D. $a+b+c=2.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;5;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.$
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)$ nên r nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ là lớn nhất.
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $\left( I,\left( P \right) \right)\le d\left( I,d \right)=IH,$ trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu bằng xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH.$
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1.\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& H\left( 3;1;4 \right) \\
& \overrightarrow{IH}=\left( 1;-4;1 \right)=-\left( -1;4;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left( P \right):-x+4y-z+3=0.$ Do đó $a=-1;b=4;c=3.$
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)$ nên r nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ là lớn nhất.
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $\left( I,\left( P \right) \right)\le d\left( I,d \right)=IH,$ trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu bằng xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH.$
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1.\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& H\left( 3;1;4 \right) \\
& \overrightarrow{IH}=\left( 1;-4;1 \right)=-\left( -1;4;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left( P \right):-x+4y-z+3=0.$ Do đó $a=-1;b=4;c=3.$
Đáp án B.