Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$. mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của (P) là $ax+by-z+c=0$ thì
A. $a+b+c=1$
B. $a+b+c=-6$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=2$
A. $a+b+c=1$
B. $a+b+c=-6$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=2$
(S) có tâm $I\left( 2;5;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
Gọi r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)$ nên (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ là lớn nhất
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $d\left( I,\left( P \right) \right)\le d\left( I,d \right)=IH$, trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu bằng xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH$
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1.\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 3;1;4 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x-4y+z-3=0$ hay $\left( P \right):-x+4y-z+3=0$. Do đó $a=-1;b=4;c=3$.
Gọi r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)$ nên (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)$ là lớn nhất
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $d\left( I,\left( P \right) \right)\le d\left( I,d \right)=IH$, trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d. Dấu bằng xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH$
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in d$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1.\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 3;1;4 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x-4y+z-3=0$ hay $\left( P \right):-x+4y-z+3=0$. Do đó $a=-1;b=4;c=3$.
Đáp án C.