Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của $\left( P \right)$ là $ax+by-z+c=0$ thì
A. $a+b+c=1$
B. $a+b+c=-6$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=2$
A. $a+b+c=1$
B. $a+b+c=-6$
C. $a+b+c=6$
D. $a+b+c=2$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;5;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)$ nên $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,(P) \right)$ là lớn nhất.
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $d\left( I,(P) \right)\le d\left( I,(d) \right)=IH$, trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d.
Dấu "=" xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH$.
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in \text{d}$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 3;1;4 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x-4y+z-3=0$ hay $\left( P \right):-x+4y-z+3=0$. Do đó $a=-1,b=4,c=3$.
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.
Ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)$ nên $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,(P) \right)$ là lớn nhất.
Do $d\subset \left( P \right)$ nên $d\left( I,(P) \right)\le d\left( I,(d) \right)=IH$, trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d.
Dấu "=" xảy ra khi $\left( P \right)\bot IH$.
Ta có $H\left( 1+2t;t;2+2t \right)\in \text{d}$ và $\overrightarrow{IH}=\left( 2t-1;t-5;2t-1 \right)$
$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-1 \right)+1\left( t-5 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 3;1;4 \right)$
Suy ra $\left( P \right):x-4y+z-3=0$ hay $\left( P \right):-x+4y-z+3=0$. Do đó $a=-1,b=4,c=3$.
Đáp án C.