Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$. và hai điểm $A\left( 7;9;0 \right), B\left( 0;8;0 \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+2MB$ với $M$ là điểm bất kỳ thuộc mặt cầu $\left( S \right).$
A. $\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.$
B. $5\sqrt{5}.$
C. $10.$
D. $5\sqrt{2}.$
A. $\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.$
B. $5\sqrt{5}.$
C. $10.$
D. $5\sqrt{2}.$
Giả sử $M\left( x;y;z \right).$
Ta có $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$
Lại có $MA=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+3.25-3.25}$
$=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]-3.25}$
$=2\sqrt{{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=2MC$ trong đó $C\left( \dfrac{5}{2};3;0 \right)$, $BC=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $P=2MC+2MB\ge 2CB$ $\Rightarrow P\ge 5\sqrt{5}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( S \right) \\
& \overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CB} \left( k>0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 1;6;0 \right)$
Ta có $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$
Lại có $MA=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+3.25-3.25}$
$=\sqrt{{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-9 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]-3.25}$
$=2\sqrt{{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=2MC$ trong đó $C\left( \dfrac{5}{2};3;0 \right)$, $BC=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $P=2MC+2MB\ge 2CB$ $\Rightarrow P\ge 5\sqrt{5}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( S \right) \\
& \overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CB} \left( k>0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( 1;6;0 \right)$
Đáp án D.