Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=8$ và điểm $M\left( -1;1;2 \right)$. Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ qua điểm M và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ lần lượt tại A, B. Biết góc giữa ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ bằng $BC=AD,CA=BD$, với $AB=CD$. Tính độ dài đoạn AB.
A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{11}$
C. $\sqrt{5}$
D. 7
Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=8$ có $I\left( 1;-2;-1 \right),R=2\sqrt{2}$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( -2;3;3 \right)\Rightarrow IM=\overrightarrow{\left| IM \right|}=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{22}$
Lại có $MA=MB=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{22-8}=\sqrt{14}$
Tam giác MAB có $\cos \widehat{AMB}=\dfrac{3}{4}$ suy ra
$A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}=7\Rightarrow AB=\sqrt{7}$.
A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{11}$
C. $\sqrt{5}$
D. 7
Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=8$ có $I\left( 1;-2;-1 \right),R=2\sqrt{2}$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( -2;3;3 \right)\Rightarrow IM=\overrightarrow{\left| IM \right|}=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{22}$
Lại có $MA=MB=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{A}^{2}}}=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{22-8}=\sqrt{14}$
Tam giác MAB có $\cos \widehat{AMB}=\dfrac{3}{4}$ suy ra
$A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}=7\Rightarrow AB=\sqrt{7}$.
Đáp án A.