Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 0;0;-4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left( S \right)$, đáy là hình tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng:
A. 8
B. 0
C. 2
D. $-4$
A. 8
B. 0
C. 2
D. $-4$
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ bán kính $R=3\sqrt{3}$
Vì $A\in \left( \alpha \right)\Rightarrow 4+c=0\Leftrightarrow c=-4$ và $A,B\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=0\Leftrightarrow 2\text{a}-4=0\Leftrightarrow a=2$.
Suy ra $d\left( I,(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$
Gọi r là bán kính đường tròn $\left( C \right)$ ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(\alpha ) \right)=27-{{d}^{2}}$ với $0<d<3\sqrt{3}$.
Khi đó thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}d$ để V lớn nhất thì $f\left( d \right)={{r}^{2}}.d=\left( 27-{{d}^{2}} \right)d$ lớn nhất.
Xét hàm $f\left( d \right)=27\text{d}-{{d}^{3}}$ với $0<d<3\sqrt{3}$
Ta có ${f}'\left( d \right)=-3{{\text{d}}^{2}}+27=0\Leftrightarrow d=\pm 3$ suy ra $\underset{\left( 0;3\sqrt{3} \right)}{\mathop{\max }} \left[ f\left( d \right) \right]=f\left( 3 \right)=54$ đạt được khi
$d=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}=3\Leftrightarrow 5\left( {{b}^{2}}-4b+4 \right)=0\Leftrightarrow b=2$.
Vậy giá trị biểu thức $a-b+c=-4$.
Vì $A\in \left( \alpha \right)\Rightarrow 4+c=0\Leftrightarrow c=-4$ và $A,B\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=0\Leftrightarrow 2\text{a}-4=0\Leftrightarrow a=2$.
Suy ra $d\left( I,(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$
Gọi r là bán kính đường tròn $\left( C \right)$ ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(\alpha ) \right)=27-{{d}^{2}}$ với $0<d<3\sqrt{3}$.
Khi đó thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}d$ để V lớn nhất thì $f\left( d \right)={{r}^{2}}.d=\left( 27-{{d}^{2}} \right)d$ lớn nhất.
Xét hàm $f\left( d \right)=27\text{d}-{{d}^{3}}$ với $0<d<3\sqrt{3}$
Ta có ${f}'\left( d \right)=-3{{\text{d}}^{2}}+27=0\Leftrightarrow d=\pm 3$ suy ra $\underset{\left( 0;3\sqrt{3} \right)}{\mathop{\max }} \left[ f\left( d \right) \right]=f\left( 3 \right)=54$ đạt được khi
$d=3\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}=3\Leftrightarrow 5\left( {{b}^{2}}-4b+4 \right)=0\Leftrightarrow b=2$.
Vậy giá trị biểu thức $a-b+c=-4$.
Đáp án D.