Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và hai điểm $M\left( 4;-4;2 \right),N\left( 6;0;6 \right)$. Gọi E là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại E là
A. $x-2y+2\text{z}+8=0$
B. $2\text{x}+y-2\text{z}-9=0$
C. $2\text{x}+2y+z+1=0$
D. $2\text{x}-2y+z+9=0$
A. $x-2y+2\text{z}+8=0$
B. $2\text{x}+y-2\text{z}-9=0$
C. $2\text{x}+2y+z+1=0$
D. $2\text{x}-2y+z+9=0$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right)$ và bán kính $R=3$.
Gọi K là trung điểm của $MN\Rightarrow K\left( 5;-2;4 \right)$ và K nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Do đó $\overrightarrow{IK}=\left( 4;-4;2 \right),\overrightarrow{MN}=\left( 2;4;4 \right),MN=6$ và $IK\bot MN$.
Ta có $EM+EN\le \sqrt{2\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( E{{K}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{2\text{E}{{K}^{2}}+36}$.
Bởi vậy $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $EM=EN$ và EK lớn nhất.
Vì $IK\bot MN$ nên $EM=EN$ thì E thuộc đường thẳng $IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu $\left( S \right)$ ứng với t là nghiệm phương trình:
${{\left( 1+2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2+t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Như vậy ${{E}_{1}}\left( 3;0;3 \right)$ hoặc ${{E}_{2}}\left( -1;4;1 \right)$.
Ta có ${{E}_{1}}K=3,{{\text{E}}_{2}}K=9$. Suy ra $E=\left( -1;4;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left( -2;2;-1 \right)$, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại E có phương trình: $-2\left( x+1 \right)+2\left( y-4 \right)-1\left( z-1 \right)=0$ hay $2\text{x}-2y+z+9=0$.
Gọi K là trung điểm của $MN\Rightarrow K\left( 5;-2;4 \right)$ và K nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Do đó $\overrightarrow{IK}=\left( 4;-4;2 \right),\overrightarrow{MN}=\left( 2;4;4 \right),MN=6$ và $IK\bot MN$.
Ta có $EM+EN\le \sqrt{2\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( E{{K}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{2\text{E}{{K}^{2}}+36}$.
Bởi vậy $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $EM=EN$ và EK lớn nhất.
Vì $IK\bot MN$ nên $EM=EN$ thì E thuộc đường thẳng $IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2-2t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right.$.
Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu $\left( S \right)$ ứng với t là nghiệm phương trình:
${{\left( 1+2t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2+t-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$.
Như vậy ${{E}_{1}}\left( 3;0;3 \right)$ hoặc ${{E}_{2}}\left( -1;4;1 \right)$.
Ta có ${{E}_{1}}K=3,{{\text{E}}_{2}}K=9$. Suy ra $E=\left( -1;4;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left( -2;2;-1 \right)$, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại E có phương trình: $-2\left( x+1 \right)+2\left( y-4 \right)-1\left( z-1 \right)=0$ hay $2\text{x}-2y+z+9=0$.
Đáp án D.