Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$. Từ điểm $A\left( 4; 0; 1 \right)$ nằm ngoài mặt cầu, kẻ một tiếp tuyến bất kỳ đến $\left( S \right)$ với tiếp điểm $M$. Tập hợp điểm $M$ là đường tròn có bán kính bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Hình vẽ minh họa mặt cắt đi qua $A\left( 4; 0; 1 \right)$ và tâm $I$ mặt cầu.
Gọi $O$ là tâm và $r$ là bán kính đường tròn là tập hợp các tiếp điểm của các tiếp tuyến với mặt cầu $\left( S \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; 0; 4 \right)$ và bán kính $R=3$.
Ta có $AI=\sqrt{{{\left( 1-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-0 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}$
$\Rightarrow AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{18-9}=3$.
Vậy bán kính đường tròn tập hợp các điểm $M$ là $r=\dfrac{AM.IM}{AI}=\dfrac{3.3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{5}{2}$.
Hình vẽ minh họa mặt cắt đi qua $A\left( 4; 0; 1 \right)$ và tâm $I$ mặt cầu.
Gọi $O$ là tâm và $r$ là bán kính đường tròn là tập hợp các tiếp điểm của các tiếp tuyến với mặt cầu $\left( S \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; 0; 4 \right)$ và bán kính $R=3$.
Ta có $AI=\sqrt{{{\left( 1-4 \right)}^{2}}+{{\left( 0-0 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=3\sqrt{2}$
$\Rightarrow AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{18-9}=3$.
Vậy bán kính đường tròn tập hợp các điểm $M$ là $r=\dfrac{AM.IM}{AI}=\dfrac{3.3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án C.