Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm...

Gọi $I\left( x ; y ; z \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$.
Vì $I\in \left( P \right)$ nên $x+2y+z=7$ $\left( 1 \right)$.
Mặt khác, $\left( S \right)$ đi qua $A$ và $B$ nên $IA=IB\left( =R \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow x+3y+2z=16$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $I$ nằm trên đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right):x+2y+z=7 \\
& \left( Q \right):x+3y+2z=16 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( I \right)$.
$\Rightarrow d$ có một VTCP $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} ; \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1 ; -1 ; 1 \right)$, với $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1 ; 2 ; 1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1 ; 3 ; 2 \right)$.
Mặt khác, cho $z=0$ thì $\left( I \right)$ trở thành: $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y=7 \\
& x+3y=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-11 \\
& y=9 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow d$ đi qua điểm $B\left( -11 ; 9 ; 0 \right)$.
Do đó, $d$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-11+t \\
& y=9-t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
$\Rightarrow I\left( -11+t ; 9-t ; t \right)$.
$\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{t}^{2}}-40t+194}$.
Đặt $f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-40t+194$, $t\in \mathbb{R}$.
Vì $f\left( t \right)$ là hàm số bậc hai nên $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{20}{3} \right)=\dfrac{182}{3}$.
Vậy ${{R}_{\min }}=\sqrt{\dfrac{182}{3}}=\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.