Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;1;2 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;-2;-1 \right)$. Xét các điểm $B,C,D$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. 72.
B. 216.
C. 108.
D. 36.
A. 72.
B. 216.
C. 108.
D. 36.
Đặt $AB=a,AC=b,AD=c$ thì $ABCD$ là tứ diện vuông đỉnh $A$, nội tiếp mặt cầu $\left( S \right)$.
Ta có $R=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$
Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$. Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge 35.{{V}^{2}}\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$ với $R=IA=3\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{\max }}=36$.
Ta có $R=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$
Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$. Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge 35.{{V}^{2}}\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$ với $R=IA=3\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{\max }}=36$.
Đáp án D.