Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm...

The Professor · 29/12/21

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có tâm

I (- 1; 2; 1)

và đi qua điểm

A (1; 0; - 1)

. Xét các điểm

B, C, D

thuộc

(S)

sao cho

A B, A C, A D

đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện

A B C D

lớn nhất bằng
A.

\frac{64}{3}

.
B.

32

.
C.

64

.
D.

\frac{32}{3}

.

Đặt

A D = a, A B = b, A C = c

.
Khi đó,

V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} a b c

.
Ta có bán kính mặt cầu

(S)

là

R = I A = 2 \sqrt{3}

.
Gọi

M

là trung điểm của

B C

. Khi đó,

A M = \frac{b^{2} + c^{2}}{2}

.
Vì tứ diện

A B C D

nội tiếp trong mặt cầu

(S)

nên ta có

I M ∥ A D

và

I M = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} a

.
Xét tam giác

A I M

vuông tại

M

, ta có

A I^{2} = A M^{2} + I M^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 48

Suy ra

V_{A B C D}^{2} = \frac{1}{36} a^{2} b^{2} c^{2} \leq \frac{1}{36} \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{3}}{27} = \frac{1024}{9}

hay

V_{A B C D} \leq \frac{32}{3}

Đáp án D.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm...