Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25.$ Từ điểm $A$ thay đổi trên đường thẳng...

Phương pháp:
- Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25.$
- Tham số hóa tọa đọ $A\in \Delta $ theo biến $t.$
- Giải phương trình $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{OM}=0$ suy ra phương trình đường thẳng cố định nằm trong $\left( BCD \right)$.
- Tính $\sin \left( d;\left( Oxy \right) \right)=\cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{i} \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}$ với $\overrightarrow{u}$ là 1 VTCP của đường thẳng $d.$
Cách giải:
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến mặt cầu $\left( S \right)$
$M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25.$
Vì $A\in \Delta \Rightarrow A\left( 10+t;-t;10+t \right)$.
Vì $AM$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính $R=5$ nên $AM\bot OM\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{OM}=0$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( x-10-t;y+t;z-10-t \right),\overrightarrow{OM}=\left( x;y;z \right)$
$\Rightarrow x\left( x-10-t \right)+y\left( y+t \right)+z\left( z-10-t \right)=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-tx+{{y}^{2}}+ty+{{z}^{2}}-10z-tz=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-10x-10z-t\left( x-y+z \right)=0$
$\Leftrightarrow 25-10x-10z-t\left( x+y+z \right)=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 10z+10z=25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 2x+2z=5 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( P \right)$ chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 2x+2y=5 \\
\end{aligned} \right.$ cố định.
Ta có: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x-y+z=0 \\
& 2x+2z=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z=t \\
& y=x+t \\
& 2x=-2z+5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x=-2t+5 \\
& y=x+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{5}{2}-t \\
& y=\dfrac{5}{2} \\
& z=t \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( -1;0;1 \right).$
Khi đó ta có $\sin \left( d;\left( Oxy \right) \right)=\cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{i} \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| -1.1+0.0+1.0 \right|}{\sqrt{2}.1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Vậy $\angle \left( d;\left( Oxy \right) \right)={{45}^{0}}.$