Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-m \right)}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$ ( $m\ne 0$ và m là tham số thực) và hai điểm $A\left( 2;3;5 \right)$, $B\left( 1;2;4 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm M sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ ?
A. 11.
B. 12.
C. 13.
D. 14.
A. 11.
B. 12.
C. 13.
D. 14.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$, ta có $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9$
$\Leftrightarrow 38-4x-6y-10z-\left( 21-2x-4y-8z \right)=9\Leftrightarrow -2x-2y-2z+8=0\Leftrightarrow x+y+z-4=0$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ là mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-4=0$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right)$ có tâm $I\left( 1;1;m \right)$ và bán kính $R=\dfrac{\left| m \right|}{2}$.
Trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm M sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ $\left( {{S}_{m}} \right)$ và $\left( P \right)$ có điểm chung
$\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \dfrac{\left| m \right|}{2}\Leftrightarrow 2\left| m-1 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|\Leftrightarrow 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}\le 3{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0\Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;...;14 \right\}$.
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9$
$\Leftrightarrow 38-4x-6y-10z-\left( 21-2x-4y-8z \right)=9\Leftrightarrow -2x-2y-2z+8=0\Leftrightarrow x+y+z-4=0$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ là mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-4=0$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right)$ có tâm $I\left( 1;1;m \right)$ và bán kính $R=\dfrac{\left| m \right|}{2}$.
Trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm M sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ $\left( {{S}_{m}} \right)$ và $\left( P \right)$ có điểm chung
$\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \dfrac{\left| m \right|}{2}\Leftrightarrow 2\left| m-1 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|\Leftrightarrow 4{{\left( m-2 \right)}^{2}}\le 3{{m}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0\Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;...;14 \right\}$.
Đáp án C.