Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{m}}...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S_{m}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4}

(

m \neq 0

và m là tham số thực) và hai điểm

A (2; 3; 5)

,

B (1; 2; 4)

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

?
A. 11.
B. 12.
C. 13.
D. 14.

Gọi

M (x; y; z)

, ta có

M A^{2} - M B^{2} = 9

\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} - [{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2}] = 9

\Leftrightarrow 38 - 4 x - 6 y - 10 z - (21 - 2 x - 4 y - 8 z) = 9 \Leftrightarrow - 2 x - 2 y - 2 z + 8 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

Tập hợp các điểm

M (x; y; z)

thỏa mãn

M A^{2} - M B^{2} = 9

là mặt phẳng

(P) : x + y + z - 4 = 0

.
Mặt cầu

(S_{m})

có tâm

I (1; 1; m)

và bán kính

R = \frac{| m |}{2}

.
Trên

(S_{m})

tồn tại điểm M sao cho

M A^{2} - M B^{2} = 9

(S_{m})

và

(P)

có điểm chung

\Leftrightarrow d (I; (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{| 1 + 1 + m - 4 |}{\sqrt{1 + 1 + 1}} \leq \frac{| m |}{2} \Leftrightarrow 2 | m - 1 | \leq \sqrt{3} | m | \Leftrightarrow 4 {(m - 2)}^{2} \leq 3 m^{2}

\Leftrightarrow m^{2} - 16 m + 16 \leq 0 \Leftrightarrow 8 - 4 \sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4 \sqrt{3} \Rightarrow m \in {2; 3; 4; . . .; 14}

.

Đáp án C.