Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1.$ Xét mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-m \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16,$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\left( {{S}_{1}} \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{2}} \right).$ Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 6.
B. 10.
C. 4.
D. 8.
A. 6.
B. 10.
C. 4.
D. 8.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;m;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=4$.
Ta có $\left( {{S}_{1}} \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=5 \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;m-2;-2 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}=5 \\
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}+5=25 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}+5=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2\pm 2\sqrt{5} \\
& m=0 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;m;1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=4$.
Ta có $\left( {{S}_{1}} \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}} \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=5 \\
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 1;m-2;-2 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}=5 \\
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}+5=25 \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}+5=9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2\pm 2\sqrt{5} \\
& m=0 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.