Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C).
A. $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
B. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
C. $\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$
D. $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$
A. $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
B. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)$
C. $\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$
D. $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 1;1;2 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=4$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;2;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=3$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;1;-3 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{14}$.
Gọi I là tâm của đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ và A là một điểm thuộc $\left( C \right)$.
Ta có $16-9=-4\text{x}+2y-6\text{z}\Leftrightarrow 4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0\Rightarrow {{I}_{1}}I=d\left( {{I}_{1}};(P) \right)=\dfrac{21}{2\sqrt{14}}$.
$\overrightarrow{{{I}_{1}}I}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}I} \right|}{\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{21}{2\sqrt{14}}}{\sqrt{14}}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}-1=\dfrac{3}{4}.\left( -2 \right) \\
& {{y}_{I}}-1=\dfrac{3}{4}.1 \\
& {{z}_{I}}-2=\dfrac{3}{4}.\left( -3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Cách 2: ${{I}_{1}}I={{I}_{1}}A.\cos \widehat{A{{I}_{1}}I}={{R}_{1}}.\cos \widehat{A{{I}_{1}}{{I}_{2}}}$
$={{R}_{1}}.\dfrac{{{I}_{1}}{{A}^{2}}+{{I}_{1}}I_{2}^{2}-AI_{2}^{2}}{2.{{I}_{1}}A.{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=4.\dfrac{{{4}^{2}}+14-{{3}^{2}}}{2.4.\sqrt{14}}=\dfrac{21}{2\sqrt{14}}.$
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -1;2;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=3$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;1;-3 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{14}$.
Gọi I là tâm của đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ và A là một điểm thuộc $\left( C \right)$.
Ta có $16-9=-4\text{x}+2y-6\text{z}\Leftrightarrow 4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0\Rightarrow {{I}_{1}}I=d\left( {{I}_{1}};(P) \right)=\dfrac{21}{2\sqrt{14}}$.
$\overrightarrow{{{I}_{1}}I}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}I} \right|}{\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{21}{2\sqrt{14}}}{\sqrt{14}}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\dfrac{3}{4}.\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{I}}-1=\dfrac{3}{4}.\left( -2 \right) \\
& {{y}_{I}}-1=\dfrac{3}{4}.1 \\
& {{z}_{I}}-2=\dfrac{3}{4}.\left( -3 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)$.
Cách 2: ${{I}_{1}}I={{I}_{1}}A.\cos \widehat{A{{I}_{1}}I}={{R}_{1}}.\cos \widehat{A{{I}_{1}}{{I}_{2}}}$
$={{R}_{1}}.\dfrac{{{I}_{1}}{{A}^{2}}+{{I}_{1}}I_{2}^{2}-AI_{2}^{2}}{2.{{I}_{1}}A.{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=4.\dfrac{{{4}^{2}}+14-{{3}^{2}}}{2.4.\sqrt{14}}=\dfrac{21}{2\sqrt{14}}.$
Đáp án D.