Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}}...

Mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I_1(1;1;2)$ và bán kính $R_1=4$.
Mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $I_2(-1;2;-1)$ và bán kính $R_2=3$.
Ta có $\overrightarrow{I_1{I}_2}=(-2;1;-3)\Rightarrow I_1{I}_2=\sqrt{14}$.
Gọi I là tâm của đường tròn giao tuyến $\left(C\right)$ và A là một điểm thuộc $\left(C\right)$.

Ta có $16-9=-4\text{x}+2y-6\text{z}\iff 4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0$.
Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $\left(S_1\right)$ và $\left(S_2\right)$
$\Rightarrow \left(P\right):4\text{x}-2y+6\text{z}+7=0\Rightarrow I_{1}I=d(I_1;(P))={\displaystyle \frac{21}{2\sqrt{14}}}$.
$\overrightarrow{I_{1}I}={\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{I_{1}I}\right|}{\left|\overrightarrow{I_1{I}_2}\right|}}.\overrightarrow{I_1{I}_2}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{21}{2\sqrt{14}}}}{\sqrt{14}}}.\overrightarrow{I_1{I}_2}={\displaystyle \frac{3}{4}}.\overrightarrow{I_1{I}_2}\iff \{\begin{array}{rl}& x_I-1={\displaystyle \frac{3}{4}}.(-2)\\ & y_I-1={\displaystyle \frac{3}{4}}.1\\ & z_I-2={\displaystyle \frac{3}{4}}.(-3)\end{array}\Rightarrow I(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{7}{4}};-{\displaystyle \frac{1}{4}})$.
Cách 2: $I_{1}I=I_{1}A.\cos \widehat{A{I}_{1}I}=R_1.\cos \widehat{A{I}_1{I}_2}$
$=R_1.{\displaystyle \frac{I_1{A}^2+I_1{I}_2^2-A{I}_2^2}{2.I_{1}A.I_1{I}_2}}=4.{\displaystyle \frac{4^2+14-3^2}{2.4.\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{21}{2\sqrt{14}}}.$