Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S_{1})$ có...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S_{1})

có tâm

I (2; 1; 1)

bán kính bằng 4 và mặt cầu

(S_{2})

có tâm

J (2; 1; 5)

bán kính bằng 2.

(P)

là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu

(S_{1}), (S_{2})

. Đặt

M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm

O

đến

(P)

. Giá trị

M + m

bằng
A. 8.
B.

8 \sqrt{3}

.
C. 9.
D.

\sqrt{15}

.

Do

I J = 4 < R_{1} + R_{2}

nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử

I J

cắt

(P)

tại

M

ta có

\frac{M J}{M I} = \frac{R_{2}}{R_{1}} = 2 \Rightarrow J

là trung điểm của

M I

Suy ra

M (2; 1; 9)

. Khi đó

(P) : a (x - 2) + b (y - 1) + c (z - 9) = 0 (a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0)

Mặt khác

d (I (P)) = 4 \Leftrightarrow \frac{| 8 c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{| 2 c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 1

Do đó

c \neq 0

chọn

c = 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 3

Đặt

a = \sqrt{3} \sin t; b = \sqrt{3} \cos t \Rightarrow d (O; (P)) = \frac{| 2 a + b + 9 |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{| 2 a + b + 9 |}{2} = \frac{| 2 \sqrt{3} \sin t + \sqrt{3} \cos t + 9 |}{2}

Mặt khác

- \sqrt{12 + 3} \leq 2 \sqrt{3} \sin t + \sqrt{3} \cos t \leq \sqrt{12 + 3} \Rightarrow \frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d_{O} \leq \frac{\sqrt{15} + 9}{2} \Rightarrow M + m = 9

.

Đáp án C.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có...