Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $J\left( 2;1;5 \right)$ bán kính bằng 2. $\left( P \right)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$. Đặt $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( P \right)$. Giá trị $M+m$ bằng
A. 8.
B. $8\sqrt{3}$.
C. 9.
D. $\sqrt{15}$.
A. 8.
B. $8\sqrt{3}$.
C. 9.
D. $\sqrt{15}$.
Do $IJ=4<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử $IJ$ cắt $\left( P \right)$ tại $M$ ta có $\dfrac{MJ}{MI}=\dfrac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2\Rightarrow J$ là trung điểm của $MI$
Suy ra $M\left( 2;1;9 \right)$. Khi đó $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
Mặt khác $d\left( I\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;b=\sqrt{3}\cos t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t+9 \right|}{2}$
Mặt khác $-\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{O}}\le \dfrac{\sqrt{15}+9}{2}\Rightarrow M+m=9$.
Giả sử $IJ$ cắt $\left( P \right)$ tại $M$ ta có $\dfrac{MJ}{MI}=\dfrac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2\Rightarrow J$ là trung điểm của $MI$
Suy ra $M\left( 2;1;9 \right)$. Khi đó $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
Mặt khác $d\left( I\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;b=\sqrt{3}\cos t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\dfrac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t+9 \right|}{2}$
Mặt khác $-\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cos t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{O}}\le \dfrac{\sqrt{15}+9}{2}\Rightarrow M+m=9$.
Đáp án C.