Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có...

Giả sử tiếp xúc với , lần lượt tại và .
Gọi . Do nên là trung điểm của . Suy ra .
Gọi với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ta có: .
Và: $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( I , \left( P \right) \right)={{R}_{1}} \\
& d\left( J , \left( P \right) \right)={{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}} \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3 \left( 1 \right)d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}\left( 1 \right){{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4. \dfrac{a}{c}. t+{{t}^{2}}-3=0\dfrac{a}{c}4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O , \left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}\Rightarrow M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2}m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}M+m=9$.