Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho $\left( P \right):2m\text{x}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( {{m}^{2}}+1 \right)z+1=0$. Biết rằng tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( 0;1;-1 \right)$. Tổng hai bán kính của hai mặt cầu đó bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
Gọi tâm mặt cầu cố định là $I\left( a;b;c \right)$ khi đó ta có phương trình:
$\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}}$.
Xét mẫu thức của biểu thức trên ta có: $\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)$.
Do đó vế trái của biểu thức được: $\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1 \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)}$ do đó ta chọn $a=0$.
Khi đó ta có: $\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1={{m}^{2}}\left( b+c \right)-b+c+1$ nên ta chọn $b+c=-b+c+1\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}$.
Thay vào phương trình trên: $\dfrac{\left| c+\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+3c+\dfrac{9}{4}=0\Rightarrow c=-\dfrac{3}{2}$.
Vậy $R=\dfrac{\left| c+\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}}$.
Xét mẫu thức của biểu thức trên ta có: $\sqrt{4{{m}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)$.
Do đó vế trái của biểu thức được: $\dfrac{\left| 2ma+\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1 \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+1 \right)}$ do đó ta chọn $a=0$.
Khi đó ta có: $\left( {{m}^{2}}-1 \right)b+\left( {{m}^{2}}+1 \right)c+1={{m}^{2}}\left( b+c \right)-b+c+1$ nên ta chọn $b+c=-b+c+1\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}$.
Thay vào phương trình trên: $\dfrac{\left| c+\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+3c+\dfrac{9}{4}=0\Rightarrow c=-\dfrac{3}{2}$.
Vậy $R=\dfrac{\left| c+\dfrac{1}{2} \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.