Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón có đỉnh $I$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z-7=0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $\left( R \right):2x-y-2z+8=0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 0 ;-2 ;0 \right)$ và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là ${{V}_{1}}$ và ${{V}_{2}}$ ( ${{V}_{1}}$ là thể tích của hình nón chứa đỉnh $I$ ). Biết bằng biểu thức $S={{V}_{2}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{V}_{1}}=a$, ${{V}_{2}}=b$. Khi đó tổng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng
A. $52\sqrt{3}{{\pi }^{2}}$.
B. $377\sqrt{3}$.
C. $2031$.
D. $2031{{\pi }^{2}}$.
Dễ thấy $\left( P \right) \text{//} \left( R \right)$, gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy hình nón, ${O}'=IO\cap \left( Q \right)$, từ giả thiết ta có
$I{O}'=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{5}{3}$ ; $O{O}'=d\left( A,\left( R \right) \right)=\dfrac{10}{3}$ suy ra $O{O}'=2I{O}'$.
Gọi $M$ là điểm thuộc đường tròn $\left( O \right)$, ${M}'=IM\cap \left( Q \right)$, do ${O}'{M}' \text{//} OM$ nên $\dfrac{I{O}'}{IO}=\dfrac{{O}'{M}'}{OM}=\dfrac{1}{3}$.
Do đó ${{r}_{2}}=3{{r}_{1}}$, (trong đó ${{r}_{1}}$ và ${{r}_{2}}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn $\left( {{O}'} \right)$ và $\left( O \right)$ ). Đặt $I{O}'=h$, khi đó
$\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h}{\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 3{{r}_{1}} \right)}^{2}}.3h}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow V=27{{V}_{1}}\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=26{{V}_{1}}$.
$S={{V}_{2}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}=26{{V}_{1}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}=\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}\ge 4\sqrt[4]{\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{78}{V_{1}^{3}}}=4\sqrt[4]{\dfrac{456976}{9}}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{78}{V_{1}^{3}}\Leftrightarrow {{V}_{1}}=\sqrt{3}$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{3} \\
& b=26\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3+{{26}^{2}}.3=2031$.
A. $52\sqrt{3}{{\pi }^{2}}$.
B. $377\sqrt{3}$.
C. $2031$.
D. $2031{{\pi }^{2}}$.
Dễ thấy $\left( P \right) \text{//} \left( R \right)$, gọi $O$ là tâm của đường tròn đáy hình nón, ${O}'=IO\cap \left( Q \right)$, từ giả thiết ta có
$I{O}'=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{5}{3}$ ; $O{O}'=d\left( A,\left( R \right) \right)=\dfrac{10}{3}$ suy ra $O{O}'=2I{O}'$.
Gọi $M$ là điểm thuộc đường tròn $\left( O \right)$, ${M}'=IM\cap \left( Q \right)$, do ${O}'{M}' \text{//} OM$ nên $\dfrac{I{O}'}{IO}=\dfrac{{O}'{M}'}{OM}=\dfrac{1}{3}$.
Do đó ${{r}_{2}}=3{{r}_{1}}$, (trong đó ${{r}_{1}}$ và ${{r}_{2}}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn $\left( {{O}'} \right)$ và $\left( O \right)$ ). Đặt $I{O}'=h$, khi đó
$\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h}{\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 3{{r}_{1}} \right)}^{2}}.3h}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow V=27{{V}_{1}}\Rightarrow {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=26{{V}_{1}}$.
$S={{V}_{2}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}=26{{V}_{1}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}=\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}+\dfrac{78}{V_{1}^{3}}\ge 4\sqrt[4]{\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}.\dfrac{78}{V_{1}^{3}}}=4\sqrt[4]{\dfrac{456976}{9}}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\dfrac{26}{3}{{V}_{1}}=\dfrac{78}{V_{1}^{3}}\Leftrightarrow {{V}_{1}}=\sqrt{3}$. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=\sqrt{3} \\
& b=26\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3+{{26}^{2}}.3=2031$.
Đáp án C.